Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”:
que têm a letra p , em primeiro lugar e a letra a, em segundo?

Passo 1

O enunciado dá a palavra “CAPÍTULO” e pede: quantos anagramas dessa palavra têm a letra p em primeiro lugar e a letra a em segundo lugar?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A palavra é “CAPÍTULO”, que tem 8 letras no total.
  • As letras (considerando acentos como parte das letras) são: C,\;A,\;P,\;\acute{I},\;T,\;U,\;L,\;O.
  • Não há letras repetidas entre essas 8 (cada letra aparece uma única vez).
  • Queremos apenas os anagramas em que a primeira posição é P e a segunda posição é A.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: permutações de elementos distintos.
Quando temos n objetos distintos e queremos ordená-los todos, o número de ordens distintas é dado por \,n!\, (lê-se “n fatorial”).
Explicação do fatorial: \,n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1\,.
Por exemplo, com 3 letras distintas X,Y,Z 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6 anagramas: XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX.
Isso funciona porque para a primeira posição há n escolhas, para a segunda restam n-1 escolhas, e assim por diante; multiplicando chegamos em n!.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: temos 8 letras distintas no total. Se fixamos a primeira posição como P e a segunda como A, essas duas posições já estão determinadas e não oferecem escolhas.
Sobram, então, 8-2 = 6 letras que precisam ser arranjadas nas 6 posições restantes (terceira até a oitava).

Passo 4

Como as 6 letras restantes são todas distintas, o número de maneiras de arranjá-las nas 6 posições livres é \,6!\,.

Passo 5

Calculemos \,6!\,:
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1
Agora multiplicando passo a passo:
6\cdot5 = 30,\quad 30\cdot4 = 120,\quad 120\cdot3 = 360,\quad 360\cdot2 = 720,\quad 720\cdot1 = 720.
Portanto \,6! = 720\,.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: cada um dos 720 arranjos corresponde a uma escolha completa das letras nas posições 3–8, enquanto as posições 1 e 2 são P e A fixas. Não perdemos nenhum caso nem contamos duplicados porque todas as letras são distintas.

Resposta

720

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