de quantos modos é possível sentar 9 pessoas em cadeiras em fila, de modo que cinco determinadas pessoas dessas 9 pessoas fiquem juntas?
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente contar de quantos jeitos dá pra sentar 9 pessoas em fila, sendo que um grupo de 5 pessoas específicas tem que ficar sempre junto. O conteúdo aqui é permutação com restrição (agrupamento), e vamos precisar usar a ideia de tratar esse grupo de 5 como um “super-elemento” e depois considerar as permutações em bloco.
Passo 2
A gente vai usar a teoria de permutações: pra permutar n elementos distintos, o número de arranjos é dado por n!. Aqui, primeiro tratamos as 5 pessoas juntas como um único elemento.
Passo 3
Ao agrupar essas 5 pessoas, ficamos com 1 bloco + 4 pessoas individuais, totalizando 5 “elementos”. O número de formas de permutar esses 5 elementos é
.
Passo 4
Mas dentro desse bloco as 5 pessoas também podem se permutar entre si. O número de arranjos internos do bloco é
.
Passo 5
Pelo princípio multiplicativo, o total de configurações é o produto das duas permutações:
. Calculando,
, então
.
Resposta
14400