Questão 1 - Em uma urna de votação existem três envelopes brancos e dois envelopes pardos. Os envelopes são extraídos da caixa sem reposição, um após o outro, até que todos sejam retirados. Diante disso, calcule:
a) a probabilidade de que saiam três envelopes brancos sucessivos.
b) a probabilidade de que saiam 2 pardos sucessivamente.
c) a chance de que saiam ou 2 pardos sucessivos ou 3 brancos sucessivos.
d) a chance de que os envelopes sejam sorteados em tipos intercalados.

Passo 1

O enunciado: temos uma urna com 3 envelopes brancos (W) e 2 envelopes pardos §. Vamos retirar todos sem reposição, formando uma sequência de 5 envelopes. Precisamos calcular probabilidades de padrões consecutivos (runs) e de intercalamento. O conteúdo é probabilidade em espaço amostral uniforme e contagem de permutações de multiconjunto.

Passo 2

O número total de sequências possíveis de 5 envelopes, sem distinguir as cartas iguais, é dado por permutações de um multiconjunto de 3 W e 2 P:
5!3!,2!=10

Passo 3

Para (a), queremos quantas sequências contêm três W consecutivas em algum lugar. Agrupamos as 3 W como um bloco + 2 P idênticos: 3 objetos no total com 2 idênticos, gerando
3!2!=3 sequências favoráveis. Logo
P(WWW)=310

Passo 4

Para (b), queremos quantas sequências contêm duas P consecutivas em algum lugar. Agrupamos as 2 P como um bloco + 3 W idênticos: 4 objetos no total com 3 idênticos, gerando
4!3!=4 sequências favoráveis. Logo
P(PP)=410=25

Passo 5

Para (c), usamos a fórmula da união:
P(WWW ou PP)=P(WWW)+P(PP)-P(WWW e PP) A interseção ocorre quando temos tanto o bloco WWW quanto o bloco PP, ou seja, apenas 2 arranjos (WWWPP e PPWWW), então
P(WWW e PP)=210 Assim
P(WWW ou PP)=310+410-210=510=12

Passo 6

Para (d), intercalamento total exige cores alternadas: como há 3 W e 2 P, o único padrão possível é W P W P W, que ocorre em exatamente 1 das 10 sequências. Logo
P(intercalados)=110

Resposta

a) 3/10; b) 2/5; c) 1/2; d) 1/10

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