Quantos números inteiros há entre 1500 e 9500 cujos algarismos são distintos?
Passo 1
O enunciado pede para contar todos os números inteiros entre 1500 e 9500 (inclusive) cujos quatro algarismos são todos distintos. Isso é um problema de contagem usando princípios de contagem (permutações) sob restrição.
Passo 2
Vamos separar em três casos conforme o dígito das unidades de milhar
:
-
(números de 1500 a 1999), mas respeitando . -
(números de 2000 a 8999), todos caem no intervalo. -
(números de 9000 a 9500), mas respeitando .
Em cada caso contaremos as escolhas de(centenas), (dezenas) e (unidades), garantindo sempre .
Passo 3
Caso
:
- Para garantir
, o dígito das centenas deve estar em . - Como
e já escolhemos , há 5 opções para . - Para o dígito das dezenas
restam opções (excluídos e ). - Para o dígito das unidades
restam opções.
Logo, total deste caso é
Passo 4
Caso
(7 opções):
- O dígito das centenas
pode ser qualquer um dos 9 dígitos restantes a , exceto . - Depois,
tem opções e tem opções.
Para cada escolha dehá
números. Como há 7 valores possíveis de
, totaliza
Passo 5
Caso
:
- Para garantir
, o dígito das centenas deve estar em . - São 5 opções para
(todas diferentes de 9). - Em seguida
tem 8 opções e tem 7 opções.
O total deste caso é
Passo 6
Somando os três casos temos
Resposta
4088