Quantos números inteiros há entre 1500 e 9500 cujos algarismos são distintos?

Passo 1

O enunciado pede para contar todos os números inteiros entre 1500 e 9500 (inclusive) cujos quatro algarismos são todos distintos. Isso é um problema de contagem usando princípios de contagem (permutações) sob restrição.

Passo 2

Vamos separar em três casos conforme o dígito das unidades de milhar \,d_1:
  1. d_1 = 1 (números de 1500 a 1999), mas respeitando N\ge1500.
  2. d_1 \in \{2,3,4,5,6,7,8\} (números de 2000 a 8999), todos caem no intervalo.
  3. d_1 = 9 (números de 9000 a 9500), mas respeitando N\le9500.
    Em cada caso contaremos as escolhas de d_2 (centenas), d_3 (dezenas) e d_4 (unidades), garantindo sempre d_i\neq d_j.

Passo 3

Caso d_1 = 1:
  • Para garantir N\ge1500, o dígito das centenas d_2 deve estar em \{5,6,7,8,9\}.
  • Como d_2\neq d_1 e já escolhemos d_1=1, há 5 opções para d_2.
  • Para o dígito das dezenas d_3 restam 10-2=8 opções (excluídos d_1 e d_2).
  • Para o dígito das unidades d_4 restam 10-3=7 opções.
    Logo, total deste caso é
5 \times 8 \times 7 \;=\;280.

Passo 4

Caso d_1 \in \{2,3,4,5,6,7,8\} (7 opções):
  • O dígito das centenas d_2 pode ser qualquer um dos 9 dígitos restantes 0 a 9, exceto d_1.
  • Depois, d_3 tem 8 opções e d_4 tem 7 opções.
    Para cada escolha de d_1
9 \times 8 \times 7 = 504
números. Como há 7 valores possíveis de d_1, totaliza
7 \times 504 \;=\;3528.

Passo 5

Caso d_1 = 9:
  • Para garantir N\le9500, o dígito das centenas d_2 deve estar em \{0,1,2,3,4\}.
  • São 5 opções para d_2 (todas diferentes de 9).
  • Em seguida d_3 tem 8 opções e d_4 tem 7 opções.
    O total deste caso é
5 \times 8 \times 7 \;=\;280.

Passo 6

Somando os três casos temos
280 + 3528 + 280 = 4088.

Resposta

4088

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