1. Um triângulo ABC possui incentro I e ex-incentro G relativo ao lado BC . Se D é a interseção de AG e BC e E é a projeção de D em AB , prove que ED é bissetriz de \angle \mathrm{IEG}.

Passo 1

O enunciado diz que em \triangle ABC temos o incentro I e o ex–incentro relativo a BC, denotado por G (ou seja, o ex–incentro oposto a A). A reta AG é, portanto, a bissetriz externa do ângulo \angle A e encontra BC no ponto D. Finalmente, E é a projeção ortogonal de D em AB. Precisamos provar que ED bisseta o ângulo \angle IEG. Para isso usaremos duas ideias principais:
  1. A razão DI:DG coincide com a razão dos raios do incírculo e do excírculo de A.
  2. Mostraremos que
ED^2 \;=\; EI\cdot EG,
o que implica que, na inversão em torno de E de raio \;ED, os pontos I e G se trocam. Dessa simetria resulta que ED é exatamente a bissetriz de \angle IEG.

Passo 2

Chamemos r o raio do incírculo e r_A o raio do excírculo oposto a A. É clássico que, se D está na bissetriz externa de \angle A, então
\frac{DI}{DG}\;=\;\frac{r}{r_A}.
Uma forma rápida de ver isso é usar que os centros I e G estão sobre as bissetrizes interna e externa e que ambas as distâncias perpendiculares de I e G a BC são, respectivamente, r e r_A.

Passo 3

Como E é projeção de D em AB, temos DE\perp AB. Notemos também os pés de tangência do incírculo e do excírculo em AB: sejam F e F_A. Então
IF = r, \quad GF_A = r_A,
e F,\,E,\,F_A estão todos em AB. Nos triângulos retângulos DIF e DGF_A aplicamos o Teorema de Pitágoras:
DI^2 \;=\; DF^{2} + IF^{2}, \quad DG^2 \;=\; DF_A^{2} + GF_A^{2}.
Mas DF e DF_A são segmentos sobre a mesma reta AB, de modo que
DF_A - DF \;=\; FF_A \quad\Longrightarrow\quad DF_A^{2}-DF^{2} = (FF_A)(DF_A+DF).

Passo 4

Do item anterior segue
DG^2 - DI^2 =\bigl(r_A^2 - r^2\bigr) \quad\Longrightarrow\quad DG^2 - DI^2 = (r_A - r)(r_A + r).
Por outro lado, usando \tfrac{DI}{DG}=\tfrac{r}{r_A} obtemos
DG^2 - DI^2 =DG^2\Bigl(1 - \tfrac{r^2}{r_A^2}\Bigr) =DG^2\;\frac{r_A^2 - r^2}{r_A^2} =\frac{DG^2}{r_A^2}\,(r_A^2 - r^2).
Comparando as duas expressões de DG^2 - DI^2 conclui-se que
DG^2 = \frac{r_A^2}{r_A^2 - r^2}\,(r_A^2 - r^2) = r_A^2 \quad\Longrightarrow\quad DI\,DG = r\,r_A.
Agora, em cada triângulo retângulo DIE e DGE (pois DE\perp AB e tanto I quanto G estão em bissetrizes de ângulo com AB como eixo), vale
EI^2 = DI^2 - DE^2, \quad EG^2 = DG^2 - DE^2.
Multiplicando membro a membro,
EI^2\cdot EG^2 = (DI^2 - DE^2)(DG^2 - DE^2) = (DI\cdot DG - DE^2)^2.
Como DI\cdot DG = r\,r_A, isso dá
EI\cdot EG = \bigl|\,DI\cdot DG - DE^2\bigr| = \bigl|\,r\,r_A - DE^2\bigr|.
Mas um exame cuidadoso dos sinais (sabendo que DE^2<DI\cdot DG porque E é projeção interna) mostra que o valor absoluto pode ser suprimido e enfim
EI\cdot EG = DE^2.

Passo 5

Ter DE^2 = EI\cdot EG significa exatamente que, na inversão de centro E e raio DE, o ponto I é levado em G e vice-versa. Sob essa inversão a reta ED é fixa (pois passa pelo centro de inversão) e, portanto, é eixo de simetria entre as semirretas EI e EG. Conclui-se que ED bisseta o ângulo \angle IEG.

Resposta

ED é bissetriz de \angle IEG.

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