1. No triângulo acutângulo ABC , os pontos H , G e M encontram-se sobre o lado BC , de modo que AH , AG e AM são altura, bissetriz e mediana do triângulo, respectivamente. Sabe-se que \mathrm{HG}=\mathrm{GM}, \mathrm{AB}=10 \mathrm{e} \mathrm{AC}=14. Determinar a área do triângulo ABC .

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo acutângulo ABC em que sobre o lado BC estão os pontos H, G e M tais que
AH é a altura,
AG é a bissetriz do ângulo \widehat A,
AM é a mediana.
Sabe-se que
HG = GM,
além de
AB = 10, \quad AC = 14.
Queremos a área de ABC.
Plano de resolução: usar geometria analítica colocando B=(0,0), C=(b,0), determinar coordenadas de H,G,M, impor HG=GM para achar a projeção H, depois usar as distâncias AB e AC para encontrar b e a altitude h, por fim calcular a área.

Passo 2

Colocamos
B=(0,0),\quad C=(b,0),\quad A=(x_H,h),
onde H é o pé da perpendicular de A em BC, logo H=(x_H,0).
O ponto médio de BC é
M=\Bigl(\tfrac b2,0\Bigr).
O ponto G, interseção da bissetriz de \widehat A com BC, divide BC na razão
\frac{BG}{GC}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7},
então
BG=\frac{5}{12}\,b \quad\Longrightarrow\quad G=\Bigl(\tfrac{5b}{12},0\Bigr).

Passo 3

A condição HG=GM é
\bigl|x_H-\tfrac{5b}{12}\bigr| \;=\;\bigl|\tfrac b2-\tfrac{5b}{12}\bigr| =\bigl|\tfrac{6b}{12}-\tfrac{5b}{12}\bigr| =\frac b{12}.
Desprezamos a solução degenerada x_H=\tfrac b2 (que faria H=M e contradiz AB\neq AC). Assim
x_H=\frac{5b}{12}-\frac b{12}=\frac{4b}{12}=\frac b3.
Portanto
A=\Bigl(\tfrac b3,h\Bigr), \quad H=\Bigl(\tfrac b3,0\Bigr).

Passo 4

Usamos as distâncias dadas:
Para AB=10:
\Bigl(\tfrac b3-0\Bigr)^{2}+h^{2}=100 \quad\Longrightarrow\quad \frac{b^{2}}{9}+h^{2}=100.
Para AC=14:
\Bigl(b-\tfrac b3\Bigr)^{2}+h^{2}=196 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4b^{2}}{9}+h^{2}=196.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
\frac{4b^{2}}{9}-\frac{b^{2}}{9}=96 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3b^{2}}{9}=96 \quad\Longrightarrow\quad b^{2}=288,
logo b=12\sqrt2.
Em seguida, de \tfrac{b^{2}}{9}+h^{2}=100:
\frac{288}{9}+h^{2}=100 \quad\Longrightarrow\quad 32+h^{2}=100 \quad\Longrightarrow\quad h^{2}=68 \quad\Longrightarrow\quad h=2\sqrt{17}.

Passo 5

A área de ABC é
\text{Área}=\frac12\cdot BC\cdot AH =\frac12\cdot b\cdot h =\frac12\cdot \bigl(12\sqrt2\bigr)\cdot\bigl(2\sqrt{17}\bigr) =12\sqrt{34}.Á

Resposta

12\sqrt{34}.

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