No triângulo acutângulo ABC , os pontos H , G e M encontram-se sobre o lado BC , de modo que AH , AG e AM são altura, bissetriz e mediana do triângulo, respectivamente. Sabe-se que \mathrm{HG}=\mathrm{GM}, \mathrm{AB}=10 \mathrm{e} \mathrm{AC}=14. Determinar a área do triângulo ABC .
Passo 1
O enunciado nos dá um triângulo acutângulo ABC em que sobre o lado BC estão os pontos H, G e M tais que
– AH é a altura,
– AG é a bissetriz do ângulo \widehat A,
– AM é a mediana.
Sabe-se que
HG = GM,
além de
AB = 10, \quad AC = 14.
Queremos a área de ABC.
Plano de resolução: usar geometria analítica colocando B=(0,0), C=(b,0), determinar coordenadas de H,G,M, impor HG=GM para achar a projeção H, depois usar as distâncias AB e AC para encontrar b e a altitude h, por fim calcular a área.
Passo 2
Colocamos
B=(0,0),\quad C=(b,0),\quad A=(x_H,h),
onde H é o pé da perpendicular de A em BC, logo H=(x_H,0).
O ponto médio de BC é
M=\Bigl(\tfrac b2,0\Bigr).
O ponto G, interseção da bissetriz de \widehat A com BC, divide BC na razão