Quantos números de 5 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
(b) Dois dígitos são iguais e o restante são distintos.

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números de cinco dígitos (isto é, com d_1\neq0) em que exatamente dois dígitos são iguais e os três restantes são todos distintos entre si e distintos do dígito repetido. Vamos usar contagem em três etapas: (i) contar todas as sequências de cinco dígitos com um par e três simples sem nos preocupar com d_1, (ii) contar quantas dessas têm d_1=0 (inválidas) e (iii) subtrair para obter só as válidas.

Passo 2

Contagem total sem restrição em d_1:
  1. Escolher o dígito que aparece duas vezes: 10 opções 0,1,\dots,9.
  2. Escolher os três dígitos distintos restantes entre os 9 dígitos que sobram: \displaystyle \binom{9}{3}=84.
  3. Permutar os cinco dígitos (multiconjunto com uma repetição):
\frac{5!}{2!}=60.
Assim o total bruto é
10\cdot 84\cdot 60 = 50\,400.

Passo 3

Contar quantos desses têm primeiro dígito d_1=0 no caso em que o dígito repetido é zero:
  1. O dígito repetido é 0.
  2. Escolher os três dígitos distintos entre 1,2,\dots,9: \displaystyle \binom{9}{3}=84.
  3. Para formar o número com d_1=0, fixamos um zero na posição 1 e o segundo zero em uma das outras 4 posições: 4 maneiras.
  4. Os 3 dígitos não zero ocupam as 3 posições restantes de forma permutada: 3!=6.
    Total desse caso:
84\cdot 4\cdot 6 = 2\,016.

Passo 4

Contar os inválidos com d_1=0 no caso em que o dígito repetido é \neq0 mas zero aparece como um dos três dígitos distintos:
  1. Escolher o dígito repetido em \{1,\dots,9\}: 9 opções.
  2. Entre os demais dígitos, queremos que zero esteja presente e mais 2 dígitos quaisquer dos outros 8 não-zero: \displaystyle \binom{8}{2}=28 escolhas.
  3. Como só há um zero, ele fica em d_1. Resta permutar os 4 dígitos (dois iguais ao dígito repetido e mais 2 dígitos distintos) nas posições 2–5:
\frac{4!}{2!}=12.
Total desse caso:
9\cdot 28\cdot 12 = 3\,024.

Passo 5

Total de casos inválidos com d_1=0 é
2\,016 + 3\,024 = 5\,040.
Logo, o total de números válidos é
50\,400 - 5\,040 = 45\,360.

Resposta

45\,360

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