Quantos números de 5 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
(b) Dois dígitos são iguais e o restante são distintos.
(b) Dois dígitos são iguais e o restante são distintos.
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de números de cinco dígitos (isto é, com
) em que exatamente dois dígitos são iguais e os três restantes são todos distintos entre si e distintos do dígito repetido. Vamos usar contagem em três etapas: (i) contar todas as sequências de cinco dígitos com um par e três simples sem nos preocupar com
, (ii) contar quantas dessas têm
(inválidas) e (iii) subtrair para obter só as válidas.
Passo 2
Contagem total sem restrição em
:
- Escolher o dígito que aparece duas vezes:
opções . - Escolher os três dígitos distintos restantes entre os
dígitos que sobram: . - Permutar os cinco dígitos (multiconjunto com uma repetição):
Assim o total bruto é
Passo 3
Contar quantos desses têm primeiro dígito
no caso em que o dígito repetido é zero:
- O dígito repetido é
. - Escolher os três dígitos distintos entre
: . - Para formar o número com
, fixamos um zero na posição 1 e o segundo zero em uma das outras 4 posições: 4 maneiras. - Os 3 dígitos não zero ocupam as 3 posições restantes de forma permutada:
.
Total desse caso:
Passo 4
Contar os inválidos com
no caso em que o dígito repetido é
mas zero aparece como um dos três dígitos distintos:
- Escolher o dígito repetido em
: 9 opções. - Entre os demais dígitos, queremos que zero esteja presente e mais 2 dígitos quaisquer dos outros 8 não-zero:
escolhas. - Como só há um zero, ele fica em
. Resta permutar os 4 dígitos (dois iguais ao dígito repetido e mais 2 dígitos distintos) nas posições 2–5:
Total desse caso:
Passo 5
Total de casos inválidos com
é
Logo, o total de números válidos é