Quantos números de 6 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
Três dígitos são iguais e o restante são distintos.

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números de 6 dígitos (isto é, de 100000 a 999999) que têm exatamente três dígitos iguais e os outros três todos distintos entre si e distintos do dígito triplicado.
Conteúdo principal: contagem de arranjos com repetição controlada e restrição de primeiro dígito não ser zero. Vamos usar:
– Combinações \binom{n}{k} para escolher posições.
– Permutações P(n,k)=n\,(n-1)\cdots(n-k+1) para escolher e ordenar dígitos distintos.
– Tratamento separado dos casos em que o primeiro dígito fica zero.

Passo 2

Contagem sem preocupar com o “zero à frente”:
  1. Escolher o dígito que aparece 3 vezes: há 10 opções 0,1,\dots,9.
  2. Escolher as 3 posições, entre as 6, onde esse dígito fica: \binom{6}{3}.
  3. Para os 3 dígitos restantes, escolher 3 dígitos distintos entre os 9 que sobraram e ordená-los nos 3 lugares restantes:
P(9,3)=9\cdot8\cdot7=504.
Logo, o total sem restrição de zero à frente é
10\;\times\;\binom{6}{3}\;\times\;P(9,3) =10\;\times\;20\;\times\;504 =100800.

Passo 3

Agora vamos subtrair os casos em que o primeiro dígito é zero. Denotemos esse total indesejado por B. Há dois cenários:
Caso A: o dígito triplicado é zero.
– Nesse caso, uma dessas três ocorrências ocupa a posição 1. Das outras 2 ocorrências de zero, escolhemos 2 posições entre as 5 restantes: \binom{5}{2}=10.
– Os 3 dígitos distintos vêm dos 9 dígitos não-zero, permutados: P(9,3)=504.
Total do caso A:
10 \times 504 =5040.
Caso B: o dígito triplicado d é não-zero.
– Escolher d em 9 possibilidades 1 a 9.
– Suas 3 ocorrências não podem ocupar a posição 1 (pois ali está zero), então escolhemos 3 posições entre as 5 últimas: \binom{5}{3}=10.
– A posição 1 fica com o dígito zero; restam 2 posições livres e 8 dígitos disponíveis (todos exceto d e zero). Escolhemos e permutamos 2 dígitos:
P(8,2)=8\cdot7=56.
Total do caso B:
9 \times 10 \times 56 =5040.
Somando B =5040+5040=10080.

Passo 4

O número de casos válidos (primeiro dígito não zero) é
100800 - 10080 = 90720.

Resposta

90720 números.

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