Quantos números de 6 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
Três dígitos são iguais e o restante são distintos.
Três dígitos são iguais e o restante são distintos.
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de números de 6 dígitos (isto é, de
a
) que têm exatamente três dígitos iguais e os outros três todos distintos entre si e distintos do dígito triplicado.
Conteúdo principal: contagem de arranjos com repetição controlada e restrição de primeiro dígito não ser zero. Vamos usar:
– Combinações para escolher posições.
– Permutações para escolher e ordenar dígitos distintos.
– Tratamento separado dos casos em que o primeiro dígito fica zero.
Conteúdo principal: contagem de arranjos com repetição controlada e restrição de primeiro dígito não ser zero. Vamos usar:
– Combinações
– Permutações
– Tratamento separado dos casos em que o primeiro dígito fica zero.
Passo 2
Contagem sem preocupar com o “zero à frente”:
- Escolher o dígito que aparece 3 vezes: há
opções . - Escolher as 3 posições, entre as 6, onde esse dígito fica:
. - Para os 3 dígitos restantes, escolher 3 dígitos distintos entre os
que sobraram e ordená-los nos 3 lugares restantes:
Logo, o total sem restrição de zero à frente é
Passo 3
Agora vamos subtrair os casos em que o primeiro dígito é zero. Denotemos esse total indesejado por
. Há dois cenários:
Caso A: o dígito triplicado é zero.
– Nesse caso, uma dessas três ocorrências ocupa a posição 1. Das outras 2 ocorrências de zero, escolhemos 2 posições entre as 5 restantes: .
– Os 3 dígitos distintos vêm dos 9 dígitos não-zero, permutados: .
Total do caso A:
– Nesse caso, uma dessas três ocorrências ocupa a posição 1. Das outras 2 ocorrências de zero, escolhemos 2 posições entre as 5 restantes:
– Os 3 dígitos distintos vêm dos 9 dígitos não-zero, permutados:
Total do caso A:
Caso B: o dígito triplicado
é não-zero.
– Escolher em 9 possibilidades
a
.
– Suas 3 ocorrências não podem ocupar a posição 1 (pois ali está zero), então escolhemos 3 posições entre as 5 últimas: .
– A posição 1 fica com o dígito zero; restam 2 posições livres e 8 dígitos disponíveis (todos exceto e zero). Escolhemos e permutamos 2 dígitos:
– Escolher
– Suas 3 ocorrências não podem ocupar a posição 1 (pois ali está zero), então escolhemos 3 posições entre as 5 últimas:
– A posição 1 fica com o dígito zero; restam 2 posições livres e 8 dígitos disponíveis (todos exceto
Total do caso B:
Somando
.
Passo 4
O número de casos válidos (primeiro dígito não zero) é