Quantos números de 5 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
O primeiro e o último dígito são distintos.

Passo 1

O enunciado pergunta quantos números de 5 dígitos podemos formar sob a condição de que o primeiro e o último dígito sejam distintos. Informações dadas e condições importantes:
  1. Precisamos formar números com exatamente 5 dígitos (portanto o primeiro dígito não pode ser zero).
  2. Os dígitos são os algarismos 0,1,2,\dots,9.
  3. A restrição adicional é que o primeiro e o último dígito sejam distintos (ou seja, não iguais).
    Não há outras restrições (como repetição proibida entre posições intermediárias), então dígitos do meio podem repetir livremente.

Passo 2

Explicação da ferramenta principal: princípio fundamental da contagem (princípio multiplicativo).
Quando um processo é formado por etapas sucessivas independentes, o número total de resultados possíveis é o produto do número de opções em cada etapa. Por exemplo, se numa escolha A temos a possibilidades e para cada escolha de A numa escolha B temos b possibilidades, então o total é a\cdot b.
Vou usar esse princípio para contar escolhas para cada posição do número de 5 dígitos.

Passo 3

Contando o total de números de 5 dígitos sem a restrição “primeiro \neq último”.
  • O primeiro dígito pode ser qualquer algarismo de 1 a 9, ou seja, 9 opções.
  • Cada um dos outros 4 dígitos (posições 2, 3, 4 e 5) pode ser qualquer algarismo de 0 a 9, ou seja, 10 opções cada.
    Pelo princípio multiplicativo, o total de números de 5 dígitos é
9\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 9\cdot 10^4.
Calculando,
9\cdot 10^4 = 90000.

Passo 4

Estratégia via complementar (método 1): contar quantos números têm primeiro igual ao último e subtrair do total.
Contando os números com primeiro igual ao último:
  • Escolha do primeiro dígito: 9 opções ( 1 a 9).
  • O último dígito fica forçado a ser igual ao primeiro (sem escolha extra): 1 opção.
  • As três posições do meio (2ª, 3ª e 4ª) são livres: 10 opções cada, total 10^3.
    Pelo princípio multiplicativo, a quantidade com primeiro igual ao último é
9\cdot 10^3 = 9000.
Então, subtraindo do total:
90000 - 9000 = 81000.

Passo 5

Verificação por contagem direta (método 2): escolher primeiro e último diferentes diretamente.
  • Escolha do primeiro dígito: 9 opções ( 1 a 9).
  • Escolha do último dígito distinto do primeiro: entre os 10 algarismos 0 9, excluímos o que foi escolhido como primeiro, sobrando 9 opções.
  • As três posições do meio: 10 opções cada, total 10^3.
    Pelo princípio multiplicativo,
9\cdot 9\cdot 10^3 = 81{,}000.
Note que esse resultado coincide com o do método complementar, então está consistente.

Passo 6

Pequeno exemplo para fixar a intuição: para números de 2 dígitos (primeiro não zero) com primeiro e último distintos, teríamos:
  • Primeiro: 9 opções.
  • Último distinto: 9 opções.
    Total 9\cdot 9=81 — funciona igual em menor escala e ajuda a ver a lógica.

Passo 7

Resumo final e incentivo: usei o princípio multiplicativo e duas abordagens (complementar e direta) que batem entre si. Pode repetir esse raciocínio na prova com calma: escolha do primeiro, lastro das opções do último dependendo da igualdade/distinção, e multiplica pelas opções dos dígitos intermediários.

Resposta

81000

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