Quantos números de 5 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
O primeiro e o último dígito são distintos.
O primeiro e o último dígito são distintos.
Passo 1
O enunciado pergunta quantos números de
dígitos podemos formar sob a condição de que o primeiro e o último dígito sejam distintos. Informações dadas e condições importantes:
- Precisamos formar números com exatamente
dígitos (portanto o primeiro dígito não pode ser zero). - Os dígitos são os algarismos
. - A restrição adicional é que o primeiro e o último dígito sejam distintos (ou seja, não iguais).
Não há outras restrições (como repetição proibida entre posições intermediárias), então dígitos do meio podem repetir livremente.
Passo 2
Explicação da ferramenta principal: princípio fundamental da contagem (princípio multiplicativo).
Quando um processo é formado por etapas sucessivas independentes, o número total de resultados possíveis é o produto do número de opções em cada etapa. Por exemplo, se numa escolha A temos possibilidades e para cada escolha de A numa escolha B temos
possibilidades, então o total é
.
Vou usar esse princípio para contar escolhas para cada posição do número de dígitos.
Quando um processo é formado por etapas sucessivas independentes, o número total de resultados possíveis é o produto do número de opções em cada etapa. Por exemplo, se numa escolha A temos
Vou usar esse princípio para contar escolhas para cada posição do número de
Passo 3
Contando o total de números de
dígitos sem a restrição “primeiro
último”.
- O primeiro dígito pode ser qualquer algarismo de
a , ou seja, opções. - Cada um dos outros
dígitos (posições 2, 3, 4 e 5) pode ser qualquer algarismo de a , ou seja, opções cada.
Pelo princípio multiplicativo, o total de números dedígitos é
Calculando,
Passo 4
Estratégia via complementar (método 1): contar quantos números têm primeiro igual ao último e subtrair do total.
Contando os números com primeiro igual ao último:
Contando os números com primeiro igual ao último:
- Escolha do primeiro dígito:
opções ( a ). - O último dígito fica forçado a ser igual ao primeiro (sem escolha extra):
opção. - As três posições do meio (2ª, 3ª e 4ª) são livres:
opções cada, total .
Pelo princípio multiplicativo, a quantidade com primeiro igual ao último é
Então, subtraindo do total:
Passo 5
Verificação por contagem direta (método 2): escolher primeiro e último diferentes diretamente.
- Escolha do primeiro dígito:
opções ( a ). - Escolha do último dígito distinto do primeiro: entre os
algarismos – , excluímos o que foi escolhido como primeiro, sobrando opções. - As três posições do meio:
opções cada, total .
Pelo princípio multiplicativo,
Note que esse resultado coincide com o do método complementar, então está consistente.
Passo 6
Pequeno exemplo para fixar a intuição: para números de
dígitos (primeiro não zero) com primeiro e último distintos, teríamos:
- Primeiro:
opções. - Último distinto:
opções.
Total— funciona igual em menor escala e ajuda a ver a lógica.
Passo 7
Resumo final e incentivo: usei o princípio multiplicativo e duas abordagens (complementar e direta) que batem entre si. Pode repetir esse raciocínio na prova com calma: escolha do primeiro, lastro das opções do último dependendo da igualdade/distinção, e multiplica pelas opções dos dígitos intermediários.