Em um turma com 10 estudantes, 6 são mulheres e 4 são homens. Determine:
quantos grupos com 3 pessoas, sendo um presidente, um vice-presidente e um suplemente, podemos formar?
quantos grupos com 3 pessoas, sendo um presidente, um vice-presidente e um suplemente, podemos formar?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:\n
- Informações: há
estudantes no total; entre eles são mulheres e são homens.\n - Pergunta: quantos grupos com
pessoas podemos formar, sendo que dentro do grupo cada pessoa terá um papel distinto: presidente, vice‑presidente e suplente?\n
Observação: o enunciado pede o número de formas de escolher três pessoas para três cargos distintos (presidente, vice‑presidente, suplente).
Passo 2
Entendendo o que “cargos distintos” significa (por que a ordem importa):\n
Quando os papéis são diferentes (presidente ≠ vice ≠ suplente), trocar quem ocupa os papéis produz uma configuração diferente. Por exemplo, se os estudantes são , a escolha (presidente
, vice
, suplente
) é diferente de (presidente
, vice
, suplente
). Portanto estamos contando seleções ordenadas — a ordem importa.
Quando os papéis são diferentes (presidente ≠ vice ≠ suplente), trocar quem ocupa os papéis produz uma configuração diferente. Por exemplo, se os estudantes são
Passo 3
Princípio fundamental da contagem (regra do produto) — aula rápida:\n
Se um procedimento tem etapas sequenciais e a primeira etapa pode ser feita de maneiras, a segunda de
maneiras (independente da escolha da primeira), a terceira de
maneiras, etc., então o número total de resultados possíveis é
.\n
Aqui temos três etapas sequenciais: escolher presidente, depois vice, depois suplente. Vamos aplicar essa regra.
Se um procedimento tem etapas sequenciais e a primeira etapa pode ser feita de
Aqui temos três etapas sequenciais: escolher presidente, depois vice, depois suplente. Vamos aplicar essa regra.
Passo 4
Aplicando a contagem sequência por sequência:\n
- Para o cargo de presidente há
opções (qualquer um dos estudantes).\n - Depois que o presidente foi escolhido, ficam
estudantes disponíveis para vice‑presidente.\n - Depois dos dois escolhidos, ficam
estudantes disponíveis para suplente.\n
Pelo princípio do produto, o número total de maneiras é
Passo 5
Fazendo as contas passo a passo (sem pular):\n
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora multiplica por
:
Portanto, pela contagem sequencial, obtemos
possibilidades.
Passo 6
Apresentando a fórmula de permutações (outra visão) e explicando os conceitos:\n
A fórmula para o número de permutações de elementos tomados
a
(ou seja, escolher
elementos ordenados dentre
) é
A fórmula para o número de permutações de
onde
(lê‑se "fatorial de
") é o produto
Aqui
é o número total de pessoas (
) e
é o número de cargos (
). Essa fórmula vem do mesmo raciocínio de multiplicar
opções para a primeira posição,
para a segunda, etc.
Passo 7
Aplicando a fórmula de permutações ao nosso caso:\n
Expandindo
como
e cancelando o
do numerador e denominador, obtemos
o mesmo resultado da contagem direta.
Passo 8
Uma verificação alternativa (combinatória + permutação dos cargos):\n
Se primeiro escolhemos apenas o conjunto de pessoas sem papéis, o número de formas é a combinação
Se primeiro escolhemos apenas o conjunto de
Para cada conjunto de
pessoas, podemos atribuir os
cargos de
maneiras (permutações dos papéis), e
. Confirma.
Passo 9
Conclusão e ânimo: chegamos ao resultado por três caminhos equivalentes (contagem sequencial, fórmula de permutações, combinação seguida de permutação dos cargos) e todos dão o mesmo número. Tá feito — respira, é só multiplicar no exame!