Em um turma com 10 estudantes, 6 são mulheres e 4 são homens. Determine:
quantos grupos com 3 pessoas, sendo um presidente, um vice-presidente e um suplemente, podemos formar?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:\n
  • Informações: há 10 estudantes no total; entre eles 6 são mulheres e 4 são homens.\n
  • Pergunta: quantos grupos com 3 pessoas podemos formar, sendo que dentro do grupo cada pessoa terá um papel distinto: presidente, vice‑presidente e suplente?\n
    Observação: o enunciado pede o número de formas de escolher três pessoas para três cargos distintos (presidente, vice‑presidente, suplente).

Passo 2

Entendendo o que “cargos distintos” significa (por que a ordem importa):\n
Quando os papéis são diferentes (presidente ≠ vice ≠ suplente), trocar quem ocupa os papéis produz uma configuração diferente. Por exemplo, se os estudantes são A,B,C, a escolha (presidente A, vice B, suplente C) é diferente de (presidente B, vice A, suplente C). Portanto estamos contando seleções ordenadas — a ordem importa.

Passo 3

Princípio fundamental da contagem (regra do produto) — aula rápida:\n
Se um procedimento tem etapas sequenciais e a primeira etapa pode ser feita de n_1 maneiras, a segunda de n_2 maneiras (independente da escolha da primeira), a terceira de n_3 maneiras, etc., então o número total de resultados possíveis é n_1 \times n_2 \times n_3 \times \dots.\n
Aqui temos três etapas sequenciais: escolher presidente, depois vice, depois suplente. Vamos aplicar essa regra.

Passo 4

Aplicando a contagem sequência por sequência:\n
  • Para o cargo de presidente há 10 opções (qualquer um dos 10 estudantes).\n
  • Depois que o presidente foi escolhido, ficam 9 estudantes disponíveis para vice‑presidente.\n
  • Depois dos dois escolhidos, ficam 8 estudantes disponíveis para suplente.\n
    Pelo princípio do produto, o número total de maneiras é
10 \times 9 \times 8.

Passo 5

Fazendo as contas passo a passo (sem pular):\n
Primeiro calcule 10 \times 9:
10 \times 9 = 90.
Agora multiplica por 8:
90 \times 8 = 720.
Portanto, pela contagem sequencial, obtemos 720 possibilidades.

Passo 6

Apresentando a fórmula de permutações (outra visão) e explicando os conceitos:\n
A fórmula para o número de permutações de n elementos tomados k a k (ou seja, escolher k elementos ordenados dentre n) é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (lê‑se "fatorial de n") é o produto
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1.
Aqui n é o número total de pessoas ( n=10) e k é o número de cargos ( k=3). Essa fórmula vem do mesmo raciocínio de multiplicar n opções para a primeira posição, n-1 para a segunda, etc.

Passo 7

Aplicando a fórmula de permutações ao nosso caso:\n
P(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!}.
Expandindo 10! como 10\times9\times8\times7! e cancelando o 7! do numerador e denominador, obtemos
\frac{10\times9\times8\times7!}{7!}=10\times9\times8=720,
o mesmo resultado da contagem direta.

Passo 8

Uma verificação alternativa (combinatória + permutação dos cargos):\n
Se primeiro escolhemos apenas o conjunto de 3 pessoas sem papéis, o número de formas é a combinação
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=120.
Para cada conjunto de 3 pessoas, podemos atribuir os 3 cargos de 3! maneiras (permutações dos papéis), e 120\times 3! = 120 \times 6 = 720. Confirma.

Passo 9

Conclusão e ânimo: chegamos ao resultado por três caminhos equivalentes (contagem sequencial, fórmula de permutações, combinação seguida de permutação dos cargos) e todos dão o mesmo número. Tá feito — respira, é só multiplicar no exame!

Resposta

720

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