Quantos são os números de 5 algarismos distintos na base 10:
Nos quais o algarismo 2 figura?
Nos quais o algarismo 2 figura?
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de números de cinco algarismos em base 10, com todos os dígitos distintos, que contenham o algarismo 2. O conteúdo envolve contagem por permutações e o princípio da inclusão-exclusão (ou contagem complementar).
Passo 2
Primeiro, calculamos quantos são todos os números de cinco algarismos com dígitos distintos (sem restrição sobre o 2).
- O primeiro dígito (mais significativo) pode ser de 1 a 9: 9 escolhas.
- Os quatro dígitos seguintes vêm dos 9 dígitos restantes (0 a 9, menos o já usado no primeiro), todos distintos e em ordem: permutação de 9 elementos tomados 4 a 4, isto é,
.
Passo 3
Agora contamos quantos desses não contêm o dígito 2 (para depois subtrair do total).
- O primeiro dígito não pode ser 0 nem 2, logo há 8 escolhas.
- Os quatro dígitos seguintes vêm dos 8 dígitos restantes (0 a 9, exceto o escolhido no primeiro e exceto o 2), de forma distinta:
.
Passo 4
Pelo princípio da contagem complementar, o número de casos que contêm pelo menos um dígito 2 é a diferença entre o total geral e os que não têm 2: