Quantos são os números de 5 algarismos distintos na base 10:
Nos quais o algarismo 2 figura?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números de cinco algarismos em base 10, com todos os dígitos distintos, que contenham o algarismo 2. O conteúdo envolve contagem por permutações e o princípio da inclusão-exclusão (ou contagem complementar).

Passo 2

Primeiro, calculamos quantos são todos os números de cinco algarismos com dígitos distintos (sem restrição sobre o 2).
  • O primeiro dígito (mais significativo) pode ser de 1 a 9: 9 escolhas.
  • Os quatro dígitos seguintes vêm dos 9 dígitos restantes (0 a 9, menos o já usado no primeiro), todos distintos e em ordem: permutação de 9 elementos tomados 4 a 4, isto é, P(9,4).
P(9,4) = 9\cdot8\cdot7\cdot6 = 3024
\text{Total geral} = 9 \times 3024 = 27216

Passo 3

Agora contamos quantos desses não contêm o dígito 2 (para depois subtrair do total).
  • O primeiro dígito não pode ser 0 nem 2, logo há 8 escolhas.
  • Os quatro dígitos seguintes vêm dos 8 dígitos restantes (0 a 9, exceto o escolhido no primeiro e exceto o 2), de forma distinta: P(8,4).
P(8,4) = 8\cdot7\cdot6\cdot5 = 1680
\text{Sem o dígito 2} = 8 \times 1680 = 13440í

Passo 4

Pelo princípio da contagem complementar, o número de casos que contêm pelo menos um dígito 2 é a diferença entre o total geral e os que não têm 2:
27216 - 13440 = 13776

Resposta

13776

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