Quantos são os números de 5 algarismos distintos na base 10:
Nos quais o algarismo 2 figura?

Passo 1

O enunciado pede a contagem de todos os números de 5 algarismos na base 10, com dígitos distintos, que contenham o dígito 2. Vamos usar permutações e o princípio do complemento para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, contamos quantos são todos os números de 5 dígitos com algarismos distintos, sem restringir a presença do 2. O primeiro dígito pode ser de 1 a 9 (9 opções), o segundo pode ser qualquer dos 9 dígitos restantes (incluindo 0), depois ficam 8, 7 e 6 opções. Logo:\r
T = 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 27216.

Passo 3

Agora contamos quantos desses não possuem o dígito 2 (para usar o complemento). Nesse caso, o primeiro dígito não pode ser 0 nem 2 (8 opções), o segundo não pode ser o já escolhido nem 2 (8 opções, pois 0 já entra quando não for líder), depois vêm 7, 6 e 5 opções. Assim:\r
N_{\text{sem }2} = 8 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 13440.

Passo 4

Aplicando o princípio do complemento, o total de números que contêm o dígito 2 é\r
T - N_{\text{sem }2} = 27216 - 13440 = 13776.

Resposta

13776

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