Todas as afirmações abaixo são verdadeiras, EXCETO
A. a^{3}+4 é divisível por a-2, para todo número natural a>2.
B) Para quaisquer números naturais a, m e n, se m>n, então a^{2 m}-1 é divisível por a^{2 n}+1.
C) (a+1)^{a}-1 é divisível por a^{2}, para todo número natural a>0.
D) a^{2}-a é divisível por 2 , para todo número natural { }^{a}.

Passo 1

Vamos resumir o que cada afirmativa diz e o que precisamos verificar. O tema aqui é divisibilidade de inteiros: dado um polinômio ou uma expressão em a, queremos ver se ela é múltipla de outro inteiro que dependa de a. Para cada item, vamos testar a definição: dizer que “ X é divisível por Y” significa que ao dividir X por Y o resto é zero.

Passo 2

Verificamos a afirmativa A:
“A. a^{3}+4 é divisível por a-2, para todo número natural a>2.”
Isso equivale a checar se
a^{3}+4 \equiv 0 \pmod{a-2}.
Pela regra do resto de polinômios, a^{3}+4\equiv 2^{3}+4=12\pmod{a-2}. Logo o resto é 12, e para ser divisível precisamos de a-2\mid12. Mas isso só ocorre quando a-2\in\{1,2,3,4,6,12\}, ou seja, a\in\{3,4,5,6,8,14\}. Por exemplo, em a=7 temos
7^{3}+4=343+4=347, \quad 7-2=5,
e 347/5 não é inteiro. Portanto a afirmativa A é falsa.

Passo 3

Verificamos a afirmativa B:
“B. Para quaisquer números naturais a, m e n, se m>n, então a^{2 m}-1 é divisível por a^{2 n}+1.”
Basta achar um contraexemplo. Tome, por exemplo, a=2, m=3 e n=1. Então
a^{2m}-1 = 2^{6}-1 =64-1=63, \quad a^{2n}+1 = 2^{2}+1 =4+1=5.
Como 63/5 não é inteiro, vemos que a afirmação B também é falsa.

Passo 4

Verificamos a afirmativa C:
“C. (a+1)^{a}-1 é divisível por a^{2}, para todo número natural a>0.”
Expandindo pelo Teorema Binomial:
(a+1)^{a} = 1 + \binom{a}{1}a + \binom{a}{2}a^{2} + \cdots + a^{a}.
Subtraindo 1, todos os termos a partir de \binom{a}{2}a^{2} têm fator a^{2}, e o termo \binom{a}{1}a =a\cdot a =a^{2}. Logo (a+1)^{a}-1 é múltiplo de a^{2}. Portanto C é verdadeira.

Passo 5

Verificamos a afirmativa D:
“D. a^{2}-a é divisível por 2, para todo número natural a.”
De fato, a^{2}-a = a(a-1). Entre dois números consecutivos a e a-1, um deles é par, logo o produto é par. Assim a^{2}-a é sempre divisível por 2. Portanto D é verdadeira.

Resposta

Das quatro afirmativas, A e B são falsas. Como o enunciado pede aquela que não é sempre verdadeira, concluímos que a alternativa incorreta é a letra B.

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