Todas as afirmações abaixo são verdadeiras, EXCETO
A.
é divisível por
, para todo número natural
.
B) Para quaisquer números naturais
e
, se
, então
é divisível por
.
C)
é divisível por
, para todo número natural
.
D)
é divisível por 2 , para todo número natural
.
A.
B) Para quaisquer números naturais
C)
D)
Passo 1
Vamos resumir o que cada afirmativa diz e o que precisamos verificar. O tema aqui é divisibilidade de inteiros: dado um polinômio ou uma expressão em
, queremos ver se ela é múltipla de outro inteiro que dependa de
. Para cada item, vamos testar a definição: dizer que “
é divisível por
” significa que ao dividir
por
o resto é zero.
Passo 2
Verificamos a afirmativa A:
“A. é divisível por
, para todo número natural
.”
Isso equivale a checar se
“A.
Isso equivale a checar se
Pela regra do resto de polinômios,
. Logo o resto é
, e para ser divisível precisamos de
. Mas isso só ocorre quando
, ou seja,
. Por exemplo, em
temos
e
não é inteiro. Portanto a afirmativa A é falsa.
Passo 3
Verificamos a afirmativa B:
“B. Para quaisquer números naturais e
, se
, então
é divisível por
.”
Basta achar um contraexemplo. Tome, por exemplo, ,
e
. Então
“B. Para quaisquer números naturais
Basta achar um contraexemplo. Tome, por exemplo,
Como
não é inteiro, vemos que a afirmação B também é falsa.
Passo 4
Verificamos a afirmativa C:
“C. é divisível por
, para todo número natural
.”
Expandindo pelo Teorema Binomial:
“C.
Expandindo pelo Teorema Binomial:
Subtraindo 1, todos os termos a partir de
têm fator
, e o termo
. Logo
é múltiplo de
. Portanto C é verdadeira.
Passo 5
Verificamos a afirmativa D:
“D. é divisível por 2, para todo número natural
.”
De fato, . Entre dois números consecutivos
e
, um deles é par, logo o produto é par. Assim
é sempre divisível por 2. Portanto D é verdadeira.
“D.
De fato,
Resposta
Das quatro afirmativas, A e B são falsas. Como o enunciado pede aquela que não é sempre verdadeira, concluímos que a alternativa incorreta é a letra B.