Quantos termos, no máximo, podemos interpolar entre os números 10 e 1000 para que a razào da P.G. seja maior que 3 ?

Passo 1

O enunciado pede para inserir (interpolar) termos entre 10 e 1000 de modo que formem uma progressão geométrica cuja razão seja maior que 3. Nosso objetivo é descobrir o número máximo de termos interiores (excluindo os extremos) que podemos ter. Vamos usar a fórmula da razão em função do primeiro termo, do último termo e do número total de termos.

Passo 2

Seja n o número total de termos da progressão geométrica, com a1=10 e an=1000. A razão r é dada por
r = (ana1)^tfrac1n-1 = (100010)^tfrac1n-1 = 100^tfrac1n-1

Passo 3

Queremos que essa razão seja maior que 3, isto é,
100^tfrac1n-1 > 3

Passo 4

Para resolver a inequação, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
lnl(100^tfrac1n-1r) > ln(3) Longrightarrow tfrac1n-1,ln(100) > ln(3)
Como ln(100)=2ln(10), temos
2ln(10)n-1 > ln(3) Longrightarrow n-1 < 2ln(10)ln(3)
Numericamente,
2ln(10)ln(3)approx 4,60521,0986approx 4,19,
logo n-1<4,19, o que implica n-1<=4 e, portanto, n<=5.

Passo 5

O valor máximo inteiro de n é 5. Como queremos o número de termos interiores, subtraímos os dois extremos:
termos interpolados = n - 2 = 5 - 2 = 3

Resposta

Podemos interpolar, no máximo, 3 termos.

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