Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo formam um espaço vetorial?
(a) Espaço real
-dimensional (
)
(a) Espaço real
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto dado forma um espaço vetorial. O conjunto fornecido é
(espaço de todas as n-uplas de números reais). Vamos considerar as operações usuais: adição componente a componente e multiplicação por escalar componente a componente. As informações relevantes que temos são:
Nenhuma outra operação foi especificada, então assumimos as operações padrão acima.
Passo 2
Primeiro, lembro a definição (de forma simples): dizer que
é um espaço vetorial sobre o corpo
significa que, com as operações dadas, todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial são satisfeitas. Vou listar cada axioma e provar que
satisfaz esse axioma. Para as provas vou usar vetores genéricos
com
, e escalares
.
Passo 3
Axioma 1 — Fechamento por adição: precisamos que
sempre que
.
A adição em é definida por
A adição em
Cada coordenada
é soma de dois reais, e
é fechado para soma, então
para todo
. Logo
é uma n-upla de reais, isto é
. Então fechamento por adição vale.
Passo 4
Axioma 2 — Comutatividade da adição: precisamos que
.
Pelo mesmo cálculo coordenada a coordenada,
Pelo mesmo cálculo coordenada a coordenada,
porque em
a soma é comutativa (
). Portanto
.
Passo 5
Axioma 3 — Associatividade da adição:
.
Calculo cada lado coordenada a coordenada:
Calculo cada lado coordenada a coordenada:
Como a soma em
é associativa,
para todo
. Logo as coordenadas coincidem e
.
Passo 6
Axioma 4 — Existência do elemento neutro aditivo: existe
tal que
para todo
.
O candidato natural é o vetor nulo
O candidato natural é o vetor nulo
pois
usando que
é o neutro em
. Assim o vetor nulo pertence a
e é o elemento neutro aditivo.
Passo 7
Axioma 5 — Existência de inversos aditivos: para cada
existe
com
.
Definimos
Definimos
onde
é o inverso aditivo em
. Então
Portanto todo vetor tem seu inverso aditivo em
.
Passo 8
Axioma 6 — Fechamento por multiplicação por escalar: para todo
e
deve valer
.
A multiplicação por escalar é definida por
A multiplicação por escalar é definida por
Como
é fechado para multiplicação,
para cada
. Logo
é uma n-upla de reais, isto é
.
Passo 9
Axioma 7 — Distributividade do escalar sobre adição de vetores:
.
Calculando coordenada a coordenada,
Calculando coordenada a coordenada,
Como a multiplicação em
distribui sobre a soma,
para cada
. Assim as coordenadas de
e
coincidem, logo
.
Passo 10
Axioma 8 — Distributividade da soma de escalares sobre multiplicação por vetor:
.
Semelhante ao passo anterior,
Semelhante ao passo anterior,
e, usando a distributividade em
,
para cada
. Portanto
.
Passo 11
Axioma 9 — Compatibilidade da multiplicação de escalares:
.
Temos
Temos
logo
pois a multiplicação em
é associativa.
Passo 12
Axioma 10 — Elemento neutro escalar:
, onde
é o elemento unitário de
.
Isto é imediato:
Isto é imediato:
Passo 13
Resumo das verificações: mostramos que todas as propriedades exigidas (fechamento para soma e multiplicação por escalar, comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso aditivo, distributividades, compatibilidade escalar e identidade escalar) são verdadeiras em
. As provas foram feitas coordenada a coordenada e usam apenas propriedades do corpo
(fechamento, comutatividade, associatividade, distributividade, existência de
e
, inversos aditivos), que são válidas.
Resposta
Sim:
é um espaço vetorial sobre
.