Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo formam um espaço vetorial?
(a) Espaço real n-dimensional ( \mathrm{R}^{\mathrm{n}} )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto dado forma um espaço vetorial. O conjunto fornecido é \mathbb{R}^{n} (espaço de todas as n-uplas de números reais). Vamos considerar as operações usuais: adição componente a componente e multiplicação por escalar componente a componente. As informações relevantes que temos são:
\text{conjunto: }\mathbb{R}^{n}=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}) \mid x_{i}\in\mathbb{R}\\ \text{para }i=1,\dots,n\}.
Nenhuma outra operação foi especificada, então assumimos as operações padrão acima.

Passo 2

Primeiro, lembro a definição (de forma simples): dizer que \mathbb{R}^{n} é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R} significa que, com as operações dadas, todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial são satisfeitas. Vou listar cada axioma e provar que \mathbb{R}^{n} satisfaz esse axioma. Para as provas vou usar vetores genéricos
u=(u_{1},u_{2},\dots,u_{n}),\quad v=(v_{1},v_{2},\dots,v_{n}),\quad w=(w_{1},w_{2},\dots,w_{n})
com u_{i},v_{i},w_{i}\in\mathbb{R}, e escalares a,b\in\mathbb{R}.

Passo 3

Axioma 1 — Fechamento por adição: precisamos que u+v\in\mathbb{R}^{n} sempre que u,v\in\mathbb{R}^{n}.
A adição em \mathbb{R}^{n} é definida por
u+v=(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2},\dots,u_{n}+v_{n}).
Cada coordenada u_{i}+v_{i} é soma de dois reais, e \mathbb{R} é fechado para soma, então u_{i}+v_{i}\in\mathbb{R} para todo i. Logo u+v é uma n-upla de reais, isto é u+v\in\mathbb{R}^{n}. Então fechamento por adição vale.

Passo 4

Axioma 2 — Comutatividade da adição: precisamos que u+v=v+u.
Pelo mesmo cálculo coordenada a coordenada,
u+v=(u_{1}+v_{1},\dots,u_{n}+v_{n})=(v_{1}+u_{1},\dots,v_{n}+u_{n})=v+u,
porque em \mathbb{R} a soma é comutativa ( u_{i}+v_{i}=v_{i}+u_{i}). Portanto u+v=v+u.

Passo 5

Axioma 3 — Associatividade da adição: (u+v)+w=u+(v+w).
Calculo cada lado coordenada a coordenada:
(u+v)+w=((u_{1}+v_{1})+w_{1},\dots,(u_{n}+v_{n})+w_{n}),
u+(v+w)=(u_{1}+(v_{1}+w_{1}),\dots,u_{n}+(v_{n}+w_{n})).
Como a soma em \mathbb{R} é associativa, (u_{i}+v_{i})+w_{i}=u_{i}+(v_{i}+w_{i}) para todo i. Logo as coordenadas coincidem e (u+v)+w=u+(v+w).

Passo 6

Axioma 4 — Existência do elemento neutro aditivo: existe \mathbf{0}\in\mathbb{R}^{n} tal que u+\mathbf{0}=u para todo u.
O candidato natural é o vetor nulo
\mathbf{0}=(0,0,\dots,0),
pois
u+\mathbf{0}=(u_{1}+0,\dots,u_{n}+0)=(u_{1},\dots,u_{n})=u,
usando que 0 é o neutro em \mathbb{R}. Assim o vetor nulo pertence a \mathbb{R}^{n} e é o elemento neutro aditivo.

Passo 7

Axioma 5 — Existência de inversos aditivos: para cada u\in\mathbb{R}^{n} existe -u\in\mathbb{R}^{n} com u+(-u)=\mathbf{0}.
Definimos
-u=(-u_{1},-u_{2},\dots,-u_{n}),
onde -u_{i} é o inverso aditivo em \mathbb{R}. Então
u+(-u)=(u_{1}+(-u_{1}),\dots,u_{n}+(-u_{n}))=(0,\dots,0)=\mathbf{0}.
Portanto todo vetor tem seu inverso aditivo em \mathbb{R}^{n}.

Passo 8

Axioma 6 — Fechamento por multiplicação por escalar: para todo a\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^{n} deve valer a u\in\mathbb{R}^{n}.
A multiplicação por escalar é definida por
a u=(a u_{1},a u_{2},\dots,a u_{n}).
Como \mathbb{R} é fechado para multiplicação, a u_{i}\in\mathbb{R} para cada i. Logo a u é uma n-upla de reais, isto é a u\in\mathbb{R}^{n}.

Passo 9

Axioma 7 — Distributividade do escalar sobre adição de vetores: a(u+v)=au+av.
Calculando coordenada a coordenada,
a(u+v)=a(u_{1}+v_{1},\dots,u_{n}+v_{n})=(a(u_{1}+v_{1}),\dots,a(u_{n}+v_{n})).
Como a multiplicação em \mathbb{R} distribui sobre a soma,
a(u_{i}+v_{i})=a u_{i}+a v_{i}
para cada i. Assim as coordenadas de a(u+v) e au+av coincidem, logo a(u+v)=au+av.

Passo 10

Axioma 8 — Distributividade da soma de escalares sobre multiplicação por vetor: (a+b)u=au+bu.
Semelhante ao passo anterior,
(a+b)u=((a+b)u_{1},\dots,(a+b)u_{n})
e, usando a distributividade em \mathbb{R},
(a+b)u_{i}=a u_{i}+b u_{i}
para cada i. Portanto (a+b)u=au+bu.

Passo 11

Axioma 9 — Compatibilidade da multiplicação de escalares: a(bu)=(ab)u.
Temos
bu=(b u_{1},\dots,b u_{n}),
logo
a(bu)=(a(bu_{1}),\dots,a(bu_{n}))=((ab)u_{1},\dots,(ab)u_{n})=(ab)u,
pois a multiplicação em \mathbb{R} é associativa.

Passo 12

Axioma 10 — Elemento neutro escalar: 1\cdot u = u, onde 1 é o elemento unitário de \mathbb{R}.
Isto é imediato:
1\cdot u=(1\cdot u_{1},\dots,1\cdot u_{n})=(u_{1},\dots,u_{n})=u.

Passo 13

Resumo das verificações: mostramos que todas as propriedades exigidas (fechamento para soma e multiplicação por escalar, comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso aditivo, distributividades, compatibilidade escalar e identidade escalar) são verdadeiras em \mathbb{R}^{n}. As provas foram feitas coordenada a coordenada e usam apenas propriedades do corpo \mathbb{R} (fechamento, comutatividade, associatividade, distributividade, existência de 0 e 1, inversos aditivos), que são válidas.

Resposta

Sim: \mathbb{R}^{n} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Exercícios relacionados