S-3.5 Com quantos zeros termina o número 2 times 3 times 4 times cdots times 120 ? E o número 2 times 3 times 4 times cdots times 174 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de zeros à direita (zeros finais) do produto
2times3times4timescdotstimes120
e do produto
2times3times4timescdotstimes174.
Note que
2times3timescdotstimes N = N!
para N>=2, e que o número de zeros finais de N! vem da quantidade de fatores 5 em sua fatoração. A fórmula geral é
sumk=1^inftylfloor N5^krfloor

Passo 2

Aplicando para N=120:
lfloor1205rfloor = 24,
lfloor12025rfloor = 4,
lfloor120125rfloor = 0
Somando, o total de fatores 5 é
24 + 4 + 0 = 28,
logo 120! termina em 28 zeros.

Passo 3

Aplicando para N=174:
lfloor1745rfloor = 34,
lfloor17425rfloor = 6,
lfloor174125rfloor = 1,
lfloor174625rfloor = 0
Somando, o total de fatores 5 é
34 + 6 + 1 + 0 = 41,
logo 174! termina em 41 zeros.

Resposta

O produto 2times3timescdotstimes120 termina em 28 zeros.
O produto 2times3timescdotstimes174 termina em 41 zeros.

Exercícios relacionados