S-3.4 Mostre que dados
inteiros consecutivos um, e apenas um, deles é múltiplo de
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados
inteiros consecutivos, existe exatamente um deles que é múltiplo de
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divisão (ou Algoritmo de Euclides) e o conceito de resto na divisão por
, isto é, classes de equivalência modulo
.
Passo 2
Sejam os
inteiros consecutivos
Pelo Teorema da Divisão, podemos escrever
com
e
inteiro tal que
. O valor
é o resto da divisão de
por
.
Passo 3
Para mostrar existência de um múltiplo de
na sequência, note:
- Se
, então já é múltiplo de . - Se
, considere o elemento
Como
vemos que
é múltiplo de
. Portanto, em toda sequência de
números consecutivos existe ao menos um múltiplo de
.
Passo 4
Para mostrar unicidade, suponha, por absurdo, que dois termos distintos da sequência sejam múltiplos de
, digamos
com
e
. Então
porém
. A única forma de um número entre
e
ser múltiplo de
é ser zero, o que é impossível. Logo não podem existir dois múltiplos; há no máximo um.
Passo 5
Reunindo os resultados de existência e unicidade, concluímos que existe um e apenas um múltiplo de
na sequência de
inteiros consecutivos.
Resposta
Em qualquer sequência de
inteiros consecutivos há exatamente um múltiplo de
.