S-3.4 Mostre que dados m inteiros consecutivos um, e apenas um, deles é múltiplo de m.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados m inteiros consecutivos, existe exatamente um deles que é múltiplo de m. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divisão (ou Algoritmo de Euclides) e o conceito de resto na divisão por m, isto é, classes de equivalência modulo m.

Passo 2

Sejam os m inteiros consecutivos
a,;a+1,;a+2,;dots,;a+(m-1)
Pelo Teorema da Divisão, podemos escrever
a = q,m + r,
com qinZ e r inteiro tal que 0 <= r <= m-1. O valor r é o resto da divisão de a por m.

Passo 3

Para mostrar existência de um múltiplo de m na sequência, note:
  • Se r=0, então a = q,m já é múltiplo de m.
  • Se rneq0, considere o elemento
a + (m-r)
Como
a + (m-r) ;=; q,m + r + (m-r) ;=; (q+1),m,
vemos que a+(m-r) é múltiplo de m. Portanto, em toda sequência de m números consecutivos existe ao menos um múltiplo de m.

Passo 4

Para mostrar unicidade, suponha, por absurdo, que dois termos distintos da sequência sejam múltiplos de m, digamos
a + i = m,k e a + j = m,ell
com 0 <= i < j <= m-1 e k,ellinZ. Então
m mid l[(a+j)-(a+i)r] = j - i,
porém 0 < j - i <= m-1. A única forma de um número entre 1 e m-1 ser múltiplo de m é ser zero, o que é impossível. Logo não podem existir dois múltiplos; há no máximo um.

Passo 5

Reunindo os resultados de existência e unicidade, concluímos que existe um e apenas um múltiplo de m na sequência de m inteiros consecutivos.

Resposta

Em qualquer sequência de m inteiros consecutivos há exatamente um múltiplo de m.

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