Quartio 3
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Calcule det(A), sendo A=[cccc1 & 2 & 1 & 3 0 & -2 & 3 & 1 0 & -1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 & 1].
Resposta: square -9
Se (x, y, z) é solução do sistema linear homogêneo l-5 x+2 y+1 z=0 7 x-2 y-3 z=0 5 x-2 y-1 z=0, e z neq 0, quanto vale x+yz ?
Resposta: square 3
Quando A e B são números reais, é comum o uso do seguinte raciocínio:
Se A^2=B^2 , então A=B ou A=-B ã
Verifique que este raciocínio não é válido caso A e B sejam matrizes, fornecendo um contraexemplo que utilize duas das matrizes a seguir (se possível):
P=[cc-9 & 0 -19 & 10], Q=[cc9 & 0 -1 & 10], R=[cc9 & 0 19 & -10] e S=[cc9 & 0 -1 & -10].
Com base em sua análise, A e B devem ser substituídos por quais matrizes para que ocorra A^2=B^2 e, mesmo assim, tenha-se A neq B in A neq-B ?
a. A=P e B=R
b. A=Q e B=R
c. As 4 matrizes fornecidas não são suficientes para obter um contraexemplo
d. A=P e $B=S

Passo 1

Vamos calcular o determinante da matriz A :
A = 1 & 2 & 1 & 3 0 & -2 & 3 & 1 0 & -1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 & 1
Usaremos a expansão por cofatores para encontrar o determinante de uma matriz 4x4.

Passo 2

Observando que a primeira coluna tem três zeros, fica mais fácil expandir pelo primeiro elemento:
det(A) = 1 cdot det( -2 & 3 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & 1 )
Isso simplifica o cálculo para uma matriz 3x3.

Passo 3

Agora, calculamos o determinante da matriz 3x3:
det( -2 & 3 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & 1 ) = -2 cdot det( 2 & -1 1 & 1 ) - 3 cdot det( -1 & -1 1 & 1 ) + 1 cdot det( -1 & 2 1 & 1 )

Passo 4

Calculando os determinantes das matrizes 2x2:
det( 2 & -1 1 & 1 ) = (2)(1) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3
det( -1 & -1 1 & 1 ) = (-1)(1) - (-1)(1) = -1 + 1 = 0
det( -1 & 2 1 & 1 ) = (-1)(1) - (2)(1) = -1 - 2 = -3

Passo 5

Substituindo os valores:
det(A) = 1 cdot (-2 cdot 3 - 3 cdot 0 + 1 cdot (-3)) = -2 cdot 3 + 0 - 3 = -6 - 3 = -9

Passo 6

Vamos resolver o sistema linear homogêneo:
-5x + 2y + z = 0 7x - 2y - 3z = 0 5x - 2y - z = 0
Queremos encontrar x + yz, sabendo que z neq 0.

Passo 7

Primeiro, eliminamos uma variável. Subtraia a primeira equação da terceira:
(5x - 2y - z) - (-5x + 2y + z) = 0 - 0 10x - 4y - 2z = 0 5x - 2y - z = 0
Isso confirma a terceira equação, então vamos trabalhar com as duas primeiras.

Passo 8

Some a primeira e a segunda equações:
-5x + 2y + z + 7x - 2y - 3z = 0 + 0 2x - 2z = 0 2x = 2z x = z

Passo 9

Substitua x = z na primeira equação:
-5z + 2y + z = 0 -4z + 2y = 0 2y = 4z y = 2z

Passo 10

Agora, calculamos x + yz:
z + 2zz = 3zz = 3

Passo 11

Queremos verificar que para matrizes, A^2 = B^2 não implica necessariamente A = B ou A = -B. Vamos usar as matrizes fornecidas:
P = -9 & 0 -19 & 10 , Q = 9 & 0 -1 & 10 , R = 9 & 0 19 & -10 , S = 9 & 0 -1 & -10

Passo 12

Vamos calcular P^2 e R^2:
P^2 = P cdot P = -9 & 0 -19 & 10 cdot -9 & 0 -19 & 10 = 81 & 0 -171 + (-190) & 0 + 100 = 81 & 0 -361 & 100
R^2 = R cdot R = 9 & 0 19 & -10 cdot 9 & 0 19 & -10 = 81 & 0 171 + (-190) & 0 + 100 = 81 & 0 -19 & 100
Observamos que P^2 neq R^2, então essa opção não serve.

Passo 13

Vamos calcular Q^2 e S^2:
Q^2 = Q cdot Q = 9 & 0 -1 & 10 cdot 9 & 0 -1 & 10 = 81 & 0 -9 + (-10) & 0 + 100 = 81 & 0 -19 & 100
S^2 = S cdot S = 9 & 0 -1 & -10 cdot 9 & 0 -1 & -10 = 81 & 0 -9 + 10 & 0 + 100 = 81 & 0 1 & 100
Aqui, Q^2 neq S^2.

Passo 14

Vamos calcular Q^2 e R^2:
Já vimos que Q^2 = 81 & 0 -19 & 100 e R^2 = 81 & 0 -19 & 100 .
Portanto, Q^2 = R^2, mas Q neq R e Q neq -R.

Resposta

b. A = Q e B = R

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