(UF-PI) O volume de um paralelepípedo reto retângulo é 162 \mathrm{~m}^{3} e suas dimensões são proporcionais a 1,2 e 3 . A diagonal desse paralelepípedo mede:
a) \sqrt{19} \mathrm{~m}
b) 3 \sqrt{14} \mathrm{~m}
c) \sqrt{31} \mathrm{~m}
d) 5 \sqrt{35} \mathrm{~m}
e) 2 \sqrt{37} \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O volume do paralelepípedo reto retângulo é 162\\ \mathrm{m}^3.
  • As três dimensões (comprimento, largura e altura) são proporcionais a 1, 2 e 3.
  • A pergunta: qual é a medida da diagonal do paralelepípedo?

Passo 2

Modelar matematicamente a proporcionalidade: se as dimensões são proporcionais a 1,2,3, existem um único número positivo k tal que as dimensões são
a = k\cdot 1,\qquad b = k\cdot 2,\qquad c = k\cdot 3.
Aqui a, b, c são, respectivamente, comprimento, largura e altura do paralelepípedo, e k é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.

Passo 3

Lembrete sobre volume de um paralelepípedo reto retângulo: o volume é o produto das três arestas ortogonais. Ou seja,
V = a\cdot b\cdot c.
Substituindo a, b, c em função de k obtemos
V = (k\cdot 1)(k\cdot 2)(k\cdot 3) = 6k^3.
Sabemos que V=162\\ \mathrm{m}^3, logo
6k^3 = 162.

Passo 4

Resolver para k: dividir ambos os lados por 6,
k^3 = \frac{162}{6} = 27.
Agora aplicamos a raiz cúbica em ambos os lados. A raiz cúbica de 27 é 3, pois 3^3=27. Assim
k = \sqrt[3]{27} = 3.

Passo 5

Determinar as dimensões usando k=3:
a = 3\cdot 1 = 3\\ \mathrm{m},\qquad b = 3\cdot 2 = 6\\ \mathrm{m},\qquad c = 3\cdot 3 = 9\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Lembrete sobre diagonal espacial: a diagonal d de um paralelepípedo reto retângulo com arestas a,b,c satisfaz a fórmula da “Pitagoras em 3D”
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.
Explicando rapidamente por que: a diagonal da base (entre arestas a e b) vale \sqrt{a^2+b^2} por Pitágoras no plano; então aplicando Pitágoras novamente com a altura c obtém-se a fórmula acima.

Passo 7

Calcular d com a=3, b=6, c=9:
d = \sqrt{3^2 + 6^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 36 + 81} = \sqrt{126}.
Fatorando 126: 126 = 9\cdot 14. Logo
d = \sqrt{9\cdot 14} = \sqrt{9}\,\sqrt{14} = 3\sqrt{14}\\ \mathrm{m}.

Resposta

b) 3\sqrt{14}\\ \mathrm{m}

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