(UF-PI) O volume de um paralelepípedo reto retângulo é
e suas dimensões são proporcionais a 1,2 e 3 . A diagonal desse paralelepípedo mede:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- O volume do paralelepípedo reto retângulo é
. - As três dimensões (comprimento, largura e altura) são proporcionais a
, e . - A pergunta: qual é a medida da diagonal do paralelepípedo?
Passo 2
Modelar matematicamente a proporcionalidade: se as dimensões são proporcionais a
, existem um único número positivo
tal que as dimensões são
Aqui
,
,
são, respectivamente, comprimento, largura e altura do paralelepípedo, e
é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.
Passo 3
Lembrete sobre volume de um paralelepípedo reto retângulo: o volume é o produto das três arestas ortogonais. Ou seja,
Substituindo
,
,
em função de
obtemos
Sabemos que
, logo
Passo 4
Resolver para
: dividir ambos os lados por
,
Agora aplicamos a raiz cúbica em ambos os lados. A raiz cúbica de
é
, pois
. Assim
Passo 5
Determinar as dimensões usando
:
Passo 6
Lembrete sobre diagonal espacial: a diagonal
de um paralelepípedo reto retângulo com arestas
satisfaz a fórmula da “Pitagoras em 3D”
Explicando rapidamente por que: a diagonal da base (entre arestas
e
) vale
por Pitágoras no plano; então aplicando Pitágoras novamente com a altura
obtém-se a fórmula acima.
Passo 7
Calcular
com
,
,
:
Fatorando
:
. Logo
Resposta
b)