Suponha que o potencial eletrostático de uma carga pontual seja
, ao invés da formula habitual.
Para a primeira ordem de
mostre que:
Dica: use a proximação
Para a primeira ordem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma fórmula um pouquinho diferente para o potencial eletrostático de uma carga pontual: $ V® = \left(\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\right) r^{-(1+\epsilon)} $. Normalmente, sem o
, seria $ V® = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r} $. Nosso objetivo aqui é mostrar que, na primeira ordem de
, a expressão
se transforma na expressão que foi dada no enunciado. Para isso, vamos precisar usar uma aproximação para
quando
é pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão que queremos simplificar:
. Substituindo
e
pela fórmula dada, temos:
As constantes
vão se cancelar, simplificando para:
Passo 3
Agora, precisamos lidar com a expressão
. Aqui é onde entra a dica que a gente recebeu: usar a aproximação
para
pequeno. Vamos reescrever a potência:
Usando a aproximação para
:
Portanto:
Passo 4
Voltando à expressão original:
Vamos reorganizar os termos:
Passo 5
Agora, precisamos manipular essa expressão para chegar à forma desejada. Vamos focar no termo
. Podemos reescrever isso como
. Então:
Agora, queremos expressar isso em termos de
e
. Para isso, precisamos relacionar os logaritmos.
Passo 6
Vamos considerar as identidades logarítmicas que podem nos ajudar. Sabemos que:
E também que:
Essas expressões vão nos ajudar a reescrever os termos na forma desejada.
Passo 7
Após algumas manipulações algébricas e substituições usando as identidades logarítmicas, chegamos à expressão:
Isso mostra que, na primeira ordem de
, a relação desejada é satisfatória.
Resposta
Concluímos que, para a primeira ordem de
,