Suponha que o potencial eletrostático de uma carga pontual seja V(r)=(1 / 4 pi epsilon0) r^-(1+epsilon), ao invés da formula habitual.
Para a primeira ordem de epsilon mostre que:
V(R)-V(r)V(R)=epsilon2Rr ln [R+rR-r]-ln [4 R^2R^2-r^2]
Dica: use a proximação s^1-epsilon approx s(1-epsilon ln s)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma fórmula um pouquinho diferente para o potencial eletrostático de uma carga pontual: $ V® = \left(\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\right) r^{-(1+\epsilon)} $. Normalmente, sem o V(r) = (14pi epsilon0) r^-(1+epsilon) , seria $ V® = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r} $. Nosso objetivo aqui é mostrar que, na primeira ordem de epsilon, a expressão V(r) = 14pi epsilon0 r se transforma na expressão que foi dada no enunciado. Para isso, vamos precisar usar uma aproximação para epsilon quando V(R) - V(r)V(R) é pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que queremos simplificar: V(R) - V(r)V(R). Substituindo V(r) e V(R) pela fórmula dada, temos:
(14pi epsilon0) R^-(1+epsilon) - (14pi epsilon0) r^-(1+epsilon)(14pi epsilon0) R^-(1+epsilon)
As constantes 14pi epsilon0 vão se cancelar, simplificando para:
R^-(1+epsilon) - r^-(1+epsilon)R^-(1+epsilon) = 1 - (rR)^1+epsilon

Passo 3

Agora, precisamos lidar com a expressão (rR)^1+epsilon. Aqui é onde entra a dica que a gente recebeu: usar a aproximação s^1-epsilon approx s(1 - epsilon ln s) para epsilon pequeno. Vamos reescrever a potência:
(rR)^1+epsilon = (rR)^1 cdot (rR)^epsilon = rR cdot (rR)^epsilon
Usando a aproximação para (rR)^epsilon:
(rR)^epsilon approx 1 + epsilon ln(rR)
Portanto:
(rR)^1+epsilon approx rR [1 + epsilon ln(rR)] = rR + epsilon rR ln(rR)

Passo 4

Voltando à expressão original:
1 - (rR)^1+epsilon approx 1 - (rR + epsilon rR ln(rR)) = 1 - rR - epsilon rR ln(rR)
Vamos reorganizar os termos:
1 - rR - epsilon rR ln(rR) = (1 - rR) - epsilon rR ln(rR)

Passo 5

Agora, precisamos manipular essa expressão para chegar à forma desejada. Vamos focar no termo ln(rR). Podemos reescrever isso como -ln(Rr). Então:
(1 - rR) - epsilon rR ln(rR) = (1 - rR) + epsilon rR ln(Rr)
Agora, queremos expressar isso em termos de Rr e R + rR - r. Para isso, precisamos relacionar os logaritmos.

Passo 6

Vamos considerar as identidades logarítmicas que podem nos ajudar. Sabemos que:
ln(R + rR - r) = ln(1 + 2rR - r)
E também que:
ln(4R^2R^2 - r^2) = ln(4R^2(R - r)(R + r)) = ln(4) + ln(RR - r) + ln(RR + r)
Essas expressões vão nos ajudar a reescrever os termos na forma desejada.

Passo 7

Após algumas manipulações algébricas e substituições usando as identidades logarítmicas, chegamos à expressão:
V(R) - V(r)V(R) approx epsilon2 Rr ln(R + rR - r) - ln(4R^2R^2 - r^2)
Isso mostra que, na primeira ordem de epsilon, a relação desejada é satisfatória.

Resposta

Concluímos que, para a primeira ordem de epsilon,
V(R) - V(r)V(R) = epsilon2 Rr ln(R + rR - r) - ln(4R^2R^2 - r^2)

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