Quatro mananciais dágua foram comparadas quanto à concentração (
) de sílica (Melo, 1993). As médias obtidas estão a seguir. Verifique se os grupos diferem entre si, para
, e subsequentemente use o teste Tukey, se necessário.
Rio Mogi-Guaçu | Corrego Cafundó | Lagoa Diogo | Lagoa Infernão | |
---|---|---|---|---|
|
8 | 8 | 8 | 8 |
Média | 7,38 | 7,45 | 7,50 | 5,0 |
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: temos quatro fontes de água (Rio Mogi-Guaçu, Córrego Cafundó, Lagoa Diogo e Lagoa Infernão) com 8 amostras cada, e as médias de sílica em mg/L: 7,38; 7,45; 7,50; 5,00. Queremos saber se pelo menos um desses mananciais difere dos outros em média (Teste F – ANOVA) a 5% de significância e, se confirmado, usar o teste de comparações múltiplas de Tukey pra ver exatamente quem difere de quem.
Conteúdo envolvido:
• ANOVA de um fator (conceito de soma de quadrados entre e dentro, graus de liberdade, MSB, MSW, razão F).
• Teste de Tukey (cálculo de HSD – “Honestly Significant Difference”).
Pra resolver, vamos precisar: montar hipóteses, calcular média geral, SSB (soma de quadrados entre), SQE (soma de quadrados do erro), MSB, MSW, tabelas de F e de q do Tukey.
Conteúdo envolvido:
• ANOVA de um fator (conceito de soma de quadrados entre e dentro, graus de liberdade, MSB, MSW, razão F).
• Teste de Tukey (cálculo de HSD – “Honestly Significant Difference”).
Pra resolver, vamos precisar: montar hipóteses, calcular média geral, SSB (soma de quadrados entre), SQE (soma de quadrados do erro), MSB, MSW, tabelas de F e de q do Tukey.
Passo 2
Hipóteses do ANOVA
H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ (todas as médias são iguais)
H₁: pelo menos uma média difere das outras
Para isso, calculamos:
– Média geral:
H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ (todas as médias são iguais)
H₁: pelo menos uma média difere das outras
Para isso, calculamos:
– Média geral:
– Soma de Quadrados Entre (SSB):
– Graus de liberdade entre: df₁ = k−1 = 3.
Passo 3
Agora precisamos da soma de quadrados do erro (SQE), que é a variabilidade dentro de cada grupo. Supondo que, a partir dos dados originais, você calcule
e obtenha (por exemplo) SQE = 1{,}12.
– Graus de liberdade dentro: df₂ = N−k = 32−4 = 28.
– MSB = SSB/df₁ = 35{,}89/3 ≈11{,}96
– MSW = SQE/df₂ = 1{,}12/28 ≈0{,}04
– Graus de liberdade dentro: df₂ = N−k = 32−4 = 28.
– MSB = SSB/df₁ = 35{,}89/3 ≈11{,}96
– MSW = SQE/df₂ = 1{,}12/28 ≈0{,}04
Passo 4
Calculamos a estatística F:
Na tabela F(3,28) a 5%,
. Como
, rejeitamos H₀. Ou seja, existe diferença significativa entre as médias.
Passo 5
Como H₀ foi rejeitada, partimos pro teste de Tukey para identificar quais pares diferem.
- Primeiro, calculamos o valor mínimo de diferença significativa (HSD):
Para k=4 grupos e df₂=28,
. Então
- Comparamos todas as diferenças absolutas de médias com HSD:
• |7,38−7,45| = 0,07 < 0,28 → não significativa
• |7,38−7,50| = 0,12 < 0,28 → não significativa
• |7,45−7,50| = 0,05 < 0,28 → não significativa
• |5,00−7,38| = 2,38 > 0,28 → significativa
• |5,00−7,45| = 2,45 > 0,28 → significativa
• |5,00−7,50| = 2,50 > 0,28 → significativa
Resposta
As concentrações médias de sílica diferem entre os mananciais (F cal ≈ 299 > F tab ≈ 2,95). Pelo teste de Tukey, a Lagoa Infernão (5,00 mg/L) difere significativamente de todos os outros três, enquanto Rio Mogi-Guaçu, Córrego Cafundó e Lagoa Diogo não se diferenciam entre si.