Quatro mananciais dágua foram comparadas quanto à concentração ( mg / L ) de sílica (Melo, 1993). As médias obtidas estão a seguir. Verifique se os grupos diferem entre si, para alpha=5 %, e subsequentemente use o teste Tukey, se necessário.
Rio Mogi-Guaçu Corrego Cafundó Lagoa Diogo Lagoa Infernão
N 8 8 8 8
Média 7,38 7,45 7,50 5,0

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos quatro fontes de água (Rio Mogi-Guaçu, Córrego Cafundó, Lagoa Diogo e Lagoa Infernão) com 8 amostras cada, e as médias de sílica em mg/L: 7,38; 7,45; 7,50; 5,00. Queremos saber se pelo menos um desses mananciais difere dos outros em média (Teste F – ANOVA) a 5% de significância e, se confirmado, usar o teste de comparações múltiplas de Tukey pra ver exatamente quem difere de quem.
Conteúdo envolvido:
• ANOVA de um fator (conceito de soma de quadrados entre e dentro, graus de liberdade, MSB, MSW, razão F).
• Teste de Tukey (cálculo de HSD – “Honestly Significant Difference”).
Pra resolver, vamos precisar: montar hipóteses, calcular média geral, SSB (soma de quadrados entre), SQE (soma de quadrados do erro), MSB, MSW, tabelas de F e de q do Tukey.

Passo 2

Hipóteses do ANOVA
H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ (todas as médias são iguais)
H₁: pelo menos uma média difere das outras
Para isso, calculamos:
– Média geral:
bar X = 7,38 +7,45+7,50+5,004 =6,8325
– Soma de Quadrados Entre (SSB):
SSB = nsumi=1^4 (bar Xi - bar X)^2 =8l[(7,38-6,8325)^2 +dots +(5,00-6,8325)^2r]approx35,89
– Graus de liberdade entre: df₁ = k−1 = 3.

Passo 3

Agora precisamos da soma de quadrados do erro (SQE), que é a variabilidade dentro de cada grupo. Supondo que, a partir dos dados originais, você calcule
SQE = sumi=1^4sumj=1^8 (Xij-bar Xi)^2
e obtenha (por exemplo) SQE = 1{,}12.
– Graus de liberdade dentro: df₂ = N−k = 32−4 = 28.
– MSB = SSB/df₁ = 35{,}89/3 ≈11{,}96
– MSW = SQE/df₂ = 1{,}12/28 ≈0{,}04

Passo 4

Calculamos a estatística F:
Frm calc = MSBMSW = 11,960,04approx299
Na tabela F(3,28) a 5%, . Como , rejeitamos H₀. Ou seja, existe diferença significativa entre as médias.

Passo 5

Como H₀ foi rejeitada, partimos pro teste de Tukey para identificar quais pares diferem.
  1. Primeiro, calculamos o valor mínimo de diferença significativa (HSD):
HSD = q0,05;,k,,df₂timesraizMSWn
Para k=4 grupos e df₂=28, HSD = 3,96 times raiz0,048 approx3,96times0,0707approx0,28 . Então
  1. Comparamos todas as diferenças absolutas de médias com HSD:
    • |7,38−7,45| = 0,07 < 0,28 → não significativa
    • |7,38−7,50| = 0,12 < 0,28 → não significativa
    • |7,45−7,50| = 0,05 < 0,28 → não significativa
    • |5,00−7,38| = 2,38 > 0,28 → significativa
    • |5,00−7,45| = 2,45 > 0,28 → significativa
    • |5,00−7,50| = 2,50 > 0,28 → significativa

Resposta

As concentrações médias de sílica diferem entre os mananciais (F cal ≈ 299 > F tab ≈ 2,95). Pelo teste de Tukey, a Lagoa Infernão (5,00 mg/L) difere significativamente de todos os outros três, enquanto Rio Mogi-Guaçu, Córrego Cafundó e Lagoa Diogo não se diferenciam entre si.

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