- 5 Tina escolhe aleatoriamente dois números distintos do conjunto
, e Sérgio escolhe aleatoriamente um número do conjunto
. Qual é a probabilidade de que o número escolhido por Sérgio seja maior do que a soma dos dois números escolhidos por Tina?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados: Tina escolhe aleatoriamente dois números distintos do conjunto
. Sérgio escolhe aleatoriamente um número do conjunto . - O que é pedido: a probabilidade de que o número escolhido por Sérgio seja maior do que a soma dos dois números escolhidos por Tina.
Informações importantes que vamos usar (sem resolver ainda):
- Tina escolhe dois números distintos — isto será tratado como escolher um par sem ordem (cada par unordered é igualmente provável).
- Sérgio escolhe um número entre
e , todos igualmente prováveis.
Passo 2
Contar quantos pares distintos Tina pode escolher.
- O número de maneiras de escolher
elementos distintos de um conjunto de elementos (sem ordem) é dado por
- Logo, Tina tem
pares possíveis; assumimos cada um com mesma probabilidade .
Passo 3
Contar o total de resultados possíveis do experimento completo (Tina + Sérgio).
- As escolhas de Tina e de Sérgio são independentes. Sérgio tem
escolhas possíveis. - Pelo princípio multiplicativo, o total de resultados igualmente possíveis é
Passo 4
Listar todos os pares que Tina pode escolher e calcular a soma de cada par.
Os
pares (sem ordem) e suas somas são:
-
com soma . -
com soma . -
com soma . -
com soma . -
com soma . -
com soma . -
com soma . -
com soma . -
com soma . -
com soma .
Para facilitar, agrupando por soma temos as multiplicidades:
- soma
: aparece vez; - soma
: aparece vez; - soma
: aparece vezes; - soma
: aparece vezes; - soma
: aparece vezes; - soma
: aparece vez; - soma
: aparece vez.
Passo 5
Para cada soma
de Tina, contar quantos números de Sérgio são maiores que
.
- Se a soma é
, então os números de Sérgio que satisfazem a condição são . O número desses inteiros é (quando ; aqui todos os estão entre e ). - Agora multiplicar
pela quantidade de pares de Tina que têm soma , e somar para todos os .
Cálculo por soma (peguei as somas da lista do Passo 4):
- Para
: multiplicidade , favorecem escolhas de Sérgio → contribui . - Para
: multiplicidade , favorecem → contribui . - Para
: multiplicidade , favorecem → contribui . - Para
: multiplicidade , favorecem → contribui . - Para
: multiplicidade , favorecem → contribui . - Para
: multiplicidade , favorecem → contribui . - Para
: multiplicidade , favorecem → contribui .
Passo 6
Somar todas as contribuições para obter o número total de resultados favoráveis.
- Soma das contribuições:
- Assim, há
resultados favoráveis em um total de resultados igualmente possíveis. - A fórmula geral que usamos (definição clássica de probabilidade com resultados igualmente prováveis) é