• 5 Tina escolhe aleatoriamente dois números distintos do conjunto \{1,2,3,4,5\}, e Sérgio escolhe aleatoriamente um número do conjunto \{1,2, \ldots, 10\}. Qual é a probabilidade de que o número escolhido por Sérgio seja maior do que a soma dos dois números escolhidos por Tina?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados: Tina escolhe aleatoriamente dois números distintos do conjunto \{1,2,3,4,5\}. Sérgio escolhe aleatoriamente um número do conjunto \{1,2,\ldots,10\}.
  • O que é pedido: a probabilidade de que o número escolhido por Sérgio seja maior do que a soma dos dois números escolhidos por Tina.
Informações importantes que vamos usar (sem resolver ainda):
  • Tina escolhe dois números distintos — isto será tratado como escolher um par sem ordem (cada par unordered é igualmente provável).
  • Sérgio escolhe um número entre 1 e 10, todos igualmente prováveis.

Passo 2

Contar quantos pares distintos Tina pode escolher.
  • O número de maneiras de escolher 2 elementos distintos de um conjunto de 5 elementos (sem ordem) é dado por
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
  • Logo, Tina tem 10 pares possíveis; assumimos cada um com mesma probabilidade 1/10.

Passo 3

Contar o total de resultados possíveis do experimento completo (Tina + Sérgio).
  • As escolhas de Tina e de Sérgio são independentes. Sérgio tem 10 escolhas possíveis.
  • Pelo princípio multiplicativo, o total de resultados igualmente possíveis é
10\\ (\text{pares de Tina}) \times 10\\ (\text{números de Sérgio}) = 100.úé

Passo 4

Listar todos os pares que Tina pode escolher e calcular a soma de cada par.
Os 10 pares (sem ordem) e suas somas são:
  • (1,2) com soma 3.
  • (1,3) com soma 4.
  • (1,4) com soma 5.
  • (1,5) com soma 6.
  • (2,3) com soma 5.
  • (2,4) com soma 6.
  • (2,5) com soma 7.
  • (3,4) com soma 7.
  • (3,5) com soma 8.
  • (4,5) com soma 9.
Para facilitar, agrupando por soma temos as multiplicidades:
  • soma 3: aparece 1 vez;
  • soma 4: aparece 1 vez;
  • soma 5: aparece 2 vezes;
  • soma 6: aparece 2 vezes;
  • soma 7: aparece 2 vezes;
  • soma 8: aparece 1 vez;
  • soma 9: aparece 1 vez.

Passo 5

Para cada soma s de Tina, contar quantos números de Sérgio são maiores que s.
  • Se a soma é s, então os números de Sérgio que satisfazem a condição são s+1,s+2,\dots,10. O número desses inteiros é 10-s (quando s\le 9; aqui todos os s estão entre 3 e 9).
  • Agora multiplicar 10-s pela quantidade de pares de Tina que têm soma s, e somar para todos os s.
Cálculo por soma (peguei as somas da lista do Passo 4):
  • Para s=3: multiplicidade 1, favorecem 10-3=7 escolhas de Sérgio → contribui 7.
  • Para s=4: multiplicidade 1, favorecem 10-4=6 → contribui 6.
  • Para s=5: multiplicidade 2, favorecem 10-5=5 → contribui 2\cdot5=10.
  • Para s=6: multiplicidade 2, favorecem 10-6=4 → contribui 2\cdot4=8.
  • Para s=7: multiplicidade 2, favorecem 10-7=3 → contribui 2\cdot3=6.
  • Para s=8: multiplicidade 1, favorecem 10-8=2 → contribui 2.
  • Para s=9: multiplicidade 1, favorecem 10-9=1 → contribui 1.

Passo 6

Somar todas as contribuições para obter o número total de resultados favoráveis.
  • Soma das contribuições:
7 + 6 + 10 + 8 + 6 + 2 + 1 = 40.
  • Assim, há 40 resultados favoráveis em um total de 100 resultados igualmente possíveis.
  • A fórmula geral que usamos (definição clássica de probabilidade com resultados igualmente prováveis) é
P=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número de resultados possíveis}}=\frac{40}{100}.úáúí

Resposta

\dfrac{2}{5}

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