Calcule u+v+w e 2 u+2 v+2 w. Como você sabe que u, v, w estão em um plano?
Passo 1
O enunciado fornece os vetores u,v,winR^3 e pede para calcular u+v+w e 2u+2v+2w.
Vamos usar a definição de soma e multiplicação escalar em coordenadas e depois aplicar o critério de coplanaridade: em R^3, três vetores são coplanares se forem linearmente dependentes (existe combinação linear não trivial que dá o vetor zero).
Passo 2
Somando componente a componente:
u+v+w =123 +-31-2 +2-3-1 =1-3+22+1-33-2-1 =000
Passo 3
Para 2u+2v+2w fatoramos 2:
2u+2v+2w =2l(u+v+wr) =2000 =000
Passo 4
Vimos que
u+v+w=0,
ou seja,
1cdotu+1cdotv+1cdotw=0
é uma combinação linear não trivial que gera o vetor zero. Logo u,v,w são linearmente dependentes e, em R^3, isso implica coplanaridade. Alternativamente, isolamos
w=-u-v,
o que mostra que w está no plano gerado por u e v.
Resposta
u+v+w=000 2u+2v+2w=000
Os vetores são coplanares porque são linearmente dependentes (há combinação não trivial que dá o vetor zero), ou seja, w é combinação de u e v.