Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. En caso que corresponda, escribir el conjunto solución como una combinación lineal de vectores y dar dos soluciones particulares. \left\{\begin{array}{c}x-3 y+2 z=1 \\\\ -2 x+y-2 z=1 \\\\ -2 x+6 y-4 z=-2\end{array}\right.
Passo 1
Liste clara do que o enunciado dá e do que se pede:
Escrever o conjunto solução como uma combinação linear de vetores (forma paramétrica).
Dar duas soluções particulares (dois vetores solução concretos).]
Passo 2
Explicação do método e montagem da matriz aumentada (uma mini-aula sobre eliminação de Gauss):
A eliminação de Gauss transforma o sistema em uma forma mais simples usando operações elementares nas linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra. O objetivo é obter uma matriz em forma escalonada onde fica fácil resolver as incógnitas.
Escrevendo a matriz aumentada do sistema (coeficientes + termos independentes):
Interpretação do escalonamento e escolha de parâmetros:
A terceira linha nula [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0] indica que uma das equações é combinação das outras: o sistema é dependente e tem infinitas soluções (pelo menos uma variável livre).
Das duas linhas não nulas, as equações correspondentes são:\begin{aligned} &\text{(1)}\quad x-3y+2z=1,\\[4pt] &\text{(2)}\quad -5y+2z=3. \end{aligned}
Escolhemos a variável z como parâmetro livre; escrevemos z=t com t\in\mathbb{R}. (Escolher uma variável livre é comum quando há menos equações independentes que incógnitas.)]
Passo 5
Resolver para y a partir da segunda equação:
Da equação -5y+2z=3 substituindo z=t:
-5y+2t=3.
Isolando y:
-5y=3-2t\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2t-3}{5}.
Explicação: dividiu-se ambos os lados por -5; cuidado com o sinal — a divisão por número negativo inverte sinal, mas a expressão já foi manipulada para ficar clara.
Passo 6
Resolver para x usando a primeira equação:
Substituindo y=\dfrac{2t-3}{5} e z=t em x-3y+2z=1:
x-3\left(\frac{2t-3}{5}\right)+2t=1.
Fazer as contas passo a passo:x-\frac{3(2t-3)}{5}+2t=1.
x-\frac{6t-9}{5}+2t=1.
Colocar tudo sobre denominador 5: note que 2t=\dfrac{10t}{5} e 1=\dfrac{5}{5}. Então
Expressão final da solução em termos do parâmetro t\):
- Reunindo:
\[\begin{cases} x=-\dfrac{4t+4}{5},\\[6pt] y=\dfrac{2t-3}{5},\\[6pt] z=t,\quad t\in\mathbb{R}. \end{cases}
Esta é a forma paramétrica. Podemos escrever como soma de um particular mais um múltiplo de um vetor (forma de combinação linear). Para ver a forma vetorial, separe termos dependentes de t\] e constantes:
\[\begin{aligned} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt] -\dfrac{3}{5}\\[4pt] 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt] \dfrac{2}{5}\\[4pt] 1\end{pmatrix}. \end{aligned}\]
- Aqui o primeiro vetor é uma solução particular (corresponde a \(t=0) e o segundo vetor é o vetor direcional (multiplicado pelo parâmetro t) que gera todas as outras soluções.]
Passo 8
Dar duas soluções particulares explícitas (escolhendo dois valores de t):
Para t=0:\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt] -\dfrac{3}{5}\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Para t=1:\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{8}{5}\\[4pt] -\dfrac{1}{5}\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Observação amigável: podes escolher qualquer valor para t e obterás outra solução; dei duas para concretizar.]