Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. En caso que corresponda, escribir el conjunto solución como una combinación lineal de vectores y dar dos soluciones particulares.
\left\{\begin{array}{c}x-3 y+2 z=1 \\\\ -2 x+y-2 z=1 \\\\ -2 x+6 y-4 z=-2\end{array}\right.

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e do que se pede:
  • Sistema de equações fornecido:
\begin{cases} x-3y+2z=1,\\[4pt] -2x+y-2z=1,\\[4pt] -2x+6y-4z=-2. \end{cases}
  • O que pedem:
    1. Resolver o sistema (encontrar todas as soluções).
    2. Escrever o conjunto solução como uma combinação linear de vetores (forma paramétrica).
    3. Dar duas soluções particulares (dois vetores solução concretos).]

Passo 2

Explicação do método e montagem da matriz aumentada (uma mini-aula sobre eliminação de Gauss):
  • A eliminação de Gauss transforma o sistema em uma forma mais simples usando operações elementares nas linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra. O objetivo é obter uma matriz em forma escalonada onde fica fácil resolver as incógnitas.
  • Escrevendo a matriz aumentada do sistema (coeficientes + termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 1\\[4pt] -2 & 1 & -2 & 1\\[4pt] -2 & 6 & -4 & -2 \end{array}\right]]

Passo 3

Aplicando operações para eliminar abaixo do primeiro pivô (primeira coluna):
  • Somar 2 vezes a primeira linha à segunda linha: R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1.
    Cálculo elemento a elemento:
    \begin{aligned} &-2 + 2\cdot 1 = 0,\\[2pt] &1 + 2\cdot(-3) = 1-6 = -5,\\[2pt] &-2 + 2\cdot 2 = -2+4 = 2,\\[2pt] &1 + 2\cdot 1 = 3. \end{aligned}
    Logo a segunda linha vira [0\\\ -5\\\ 2\\ |\\\ 3].
  • Somar 2 vezes a primeira linha à terceira linha: R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.
    Cálculo:
    \begin{aligned} &-2 + 2\cdot 1 = 0,\\[2pt] &6 + 2\cdot(-3) = 6-6 = 0,\\[2pt] &-4 + 2\cdot 2 = -4+4 = 0,\\[2pt] &-2 + 2\cdot 1 = 0. \end{aligned}
    Assim a terceira linha vira [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0].
  • A matriz após essas operações fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 4

Interpretação do escalonamento e escolha de parâmetros:
  • A terceira linha nula [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0] indica que uma das equações é combinação das outras: o sistema é dependente e tem infinitas soluções (pelo menos uma variável livre).
  • Das duas linhas não nulas, as equações correspondentes são: \begin{aligned} &\text{(1)}\quad x-3y+2z=1,\\[4pt] &\text{(2)}\quad -5y+2z=3. \end{aligned}
  • Escolhemos a variável z como parâmetro livre; escrevemos z=t com t\in\mathbb{R}. (Escolher uma variável livre é comum quando há menos equações independentes que incógnitas.)]

Passo 5

Resolver para y a partir da segunda equação:
  • Da equação -5y+2z=3 substituindo z=t:
-5y+2t=3.
  • Isolando y:
-5y=3-2t\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2t-3}{5}.
Explicação: dividiu-se ambos os lados por -5; cuidado com o sinal — a divisão por número negativo inverte sinal, mas a expressão já foi manipulada para ficar clara.

Passo 6

Resolver para x usando a primeira equação:
  • Substituindo y=\dfrac{2t-3}{5} e z=t em x-3y+2z=1:
x-3\left(\frac{2t-3}{5}\right)+2t=1.
  • Fazer as contas passo a passo: x-\frac{3(2t-3)}{5}+2t=1.
x-\frac{6t-9}{5}+2t=1.
Colocar tudo sobre denominador 5: note que 2t=\dfrac{10t}{5} e 1=\dfrac{5}{5}. Então
x+\frac{-6t+9+10t}{5}=\frac{5}{5}.
x+\frac{4t+9}{5}=\frac{5}{5}.
Isolando x:
x=\frac{5}{5}-\frac{4t+9}{5}=\frac{5-(4t+9)}{5}=\frac{-4t-4}{5}=-\frac{4}{5}(t+1).
  • Resultado: x=-\dfrac{4t+4}{5}.

Passo 7

Expressão final da solução em termos do parâmetro t\): - Reunindo: \[\begin{cases} x=-\dfrac{4t+4}{5},\\[6pt] y=\dfrac{2t-3}{5},\\[6pt] z=t,\quad t\in\mathbb{R}. \end{cases}
  • Esta é a forma paramétrica. Podemos escrever como soma de um particular mais um múltiplo de um vetor (forma de combinação linear). Para ver a forma vetorial, separe termos dependentes de t\] e constantes: \[\begin{aligned} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt] -\dfrac{3}{5}\\[4pt] 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt] \dfrac{2}{5}\\[4pt] 1\end{pmatrix}. \end{aligned}\] - Aqui o primeiro vetor é uma solução particular (corresponde a \(t=0) e o segundo vetor é o vetor direcional (multiplicado pelo parâmetro t) que gera todas as outras soluções.]

Passo 8

Dar duas soluções particulares explícitas (escolhendo dois valores de t):
  • Para t=0: \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt] -\dfrac{3}{5}\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
  • Para t=1: \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{8}{5}\\[4pt] -\dfrac{1}{5}\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Observação amigável: podes escolher qualquer valor para t e obterás outra solução; dei duas para concretizar.]

Resposta

\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt] -\dfrac{3}{5}\\[4pt] 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt] \dfrac{2}{5}\\[4pt] 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.
\text{Duas soluções particulares: } \begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt] -\dfrac{3}{5}\\[4pt] 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}-\dfrac{8}{5}\\[4pt] -\dfrac{1}{5}\\[4pt] 1\end{pmatrix}.çõ]

Exercícios relacionados