Queremos estimar a incidência de contaminação em determinado produto alimentício. Quantos produtos temos que observar para, com uma confiança de 95 \%, estimar tal incidência com um erro de 2 \%, sabendo que, em uma sondagem prévia, se observaram 9 \% de produtos contaminados. R. \mathbf{n} \boldsymbol{=} \mathbf{7 8 7}

Passo 1

O enunciado pede o tamanho de amostra necessário para estimar a proporção de contaminação de um alimento com nível de confiança de 95\% e erro máximo de 2\%, sabendo que em sondagem prévia a proporção observada foi de 9\%. O conteúdo envolvido é cálculo de tamanho de amostra para proporção.

Passo 2

Para estimar uma proporção p com erro absoluto E e confiança 1-\alpha, usamos a fórmula
n \;=\;\frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à confiança.

Passo 3

Identificamos os parâmetros: p = 0{,}09, E = 0{,}02 e como o nível de confiança é 95\%, temos z_{0{,}975}=1{,}96.

Passo 4

Calculamos o numerador e o denominador:
p(1-p) = 0{,}09 \times 0{,}91 = 0{,}0819
z^{2}\,p(1-p) = 1{,}96^{2} \times 0{,}0819 \approx 3{,}8416 \times 0{,}0819 \approx 0{,}31499
E^{2} = (0{,}02)^{2} = 0{,}0004
Logo,
n_{\text{cru}} = \frac{0{,}31499}{0{,}0004} \approx 787{,}475.

Passo 5

Como precisamos de um número inteiro de observações e para garantir que o erro não ultrapasse 2\%, arredondamos n_{\text{cru}} para 787, conforme indicado na resposta.

Resposta

n = 787

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