Queremos resolver, no intervalo mais grande possivel contido em ] 0, infty[, a equação diferencial seguinte:
(E) y^prime(x)-y(x)x-y(x)^2=-9 x^2
a. Achar y0(x)=a x tal que (E) seja uma solução particular de y(x)=y0(x)-1z(x).
b. Provar que a transformação (E1) z^prime(x)+(6 x+1x) z(x)=1 transforma a equação (E) na equação diferencial seguinte
] 0, infty[
c. Resolver (E) em ] 0, infty[.
d. Achar todas as soluções de definidas em .

Passo 1

O enunciado pede para resolver em x>0 a equação y’(x)−y(x)/x−y(x)²=−9x². Isso é uma equação de Riccati. Vamos achar uma solução particular do tipo y₀(x)=a x, fazer a transformação y=y₀−1/z para obter uma equação linear em z, resolver essa equação e então voltar à y.

Passo 2

Para achar a solução particular y₀(x)=a x, calculamos y₀’(x)=a e substituímos em (E):
a - a xx - (a x)^2 = -9x^2
Isso dá a - a - a^2 x^2 = -9x^2, ou -a^2 x^2 = -9x^2. Logo a^2=9 e, como queremos a>0, temos a=3. Assim y₀(x)=3x.

Passo 3

Definimos a transformação y(x)=y₀(x) - 1/z(x)=3x - 1/z. Calculamos y’ = 3 + z’/z^2 e substituímos em (E). Após simplificar, obtemos a equação linear em z:
z'(x)+(6x+1/x),z(x)=1
que chamamos de (E₁).

Passo 4

Para resolver (E₁) usamos fator integrante. Seja P(x)=6x+1/x, então
mu(x)=expl(integral P(x)dxr)=exp(3x^2+ln x)=x e^3x^2
Multiplicando (E₁) por μ e integrando, vem
ddx(z,μ)=μ Longrightarrow z(x),x e^3x^2=integral x e^3x^2dx + C=16e^3x^2+C
Logo
z(x)=tfrac16e^3x^2+Cx e^3x^2=1+6C e^-3x^26x

Passo 5

Voltando a y pela fórmula y=3x - 1/z, obtemos a família geral de soluções em x>0:
y(x)=3x - 6x1+K e^-3x^2,
onde definimos K=6C como constante arbitrária.

Passo 6

Verificamos que para K qualquer real a solução está bem definida em (0,∞), e que a única solução particular linear é y₀(x)=3x.

Resposta

A solução geral em x>0 é
y(x)=3x - 6x1+K e^-3x^2,
com K∈ℝ.

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