Queremos resolver, no intervalo mais grande possivel contido em
, a equação diferencial seguinte:
a. Achar
tal que
seja uma solução particular de
.
b. Provar que a transformação
transforma a equação (E) na equação diferencial seguinte
c. Resolver
em
.
d. Achar todas as soluções de
definidas em
.
b. Provar que a transformação
d. Achar todas as soluções de
Passo 1
O enunciado pede para resolver em x>0 a equação y’(x)−y(x)/x−y(x)²=−9x². Isso é uma equação de Riccati. Vamos achar uma solução particular do tipo y₀(x)=a x, fazer a transformação y=y₀−1/z para obter uma equação linear em z, resolver essa equação e então voltar à y.
Passo 2
Para achar a solução particular y₀(x)=a x, calculamos y₀’(x)=a e substituímos em (E):
Isso dá a - a - a^2 x^2 = -9x^2, ou -a^2 x^2 = -9x^2. Logo a^2=9 e, como queremos a>0, temos a=3. Assim y₀(x)=3x.
Passo 3
Definimos a transformação y(x)=y₀(x) - 1/z(x)=3x - 1/z. Calculamos y’ = 3 + z’/z^2 e substituímos em (E). Após simplificar, obtemos a equação linear em z:
que chamamos de (E₁).
Passo 4
Para resolver (E₁) usamos fator integrante. Seja P(x)=6x+1/x, então
Multiplicando (E₁) por μ e integrando, vem
Logo
Passo 5
Voltando a y pela fórmula y=3x - 1/z, obtemos a família geral de soluções em x>0:
onde definimos K=6C como constante arbitrária.
Passo 6
Verificamos que para K qualquer real a solução está bem definida em (0,∞), e que a única solução particular linear é y₀(x)=3x.
Resposta
A solução geral em x>0 é
com K∈ℝ.