As questões 1. a 4. são referentes à equação diferencial s(t)=8 e^-t é sua solução geral. y(0)=0 é sua solução homogênea, para y^prime(0)=0 e y(1) constantes e 2 e+2 e^-1 e e+e^-1 são soluções linearmente independentes. é sua solução particular.
Seja e sejam e suas condições iniciais, qual o valor de ?
(a)
(b)
© 0
(d) 2 e
(e) NDA

Passo 1

A equação que vamos resolver é a diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 2y' + y = 8e^-t
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O método é clássico: achamos a solução homogênea yH pela equação característica e depois uma solução particular yP.

Passo 2

O homogêneo vem da equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=1. Pela teoria, quando a raiz é dupla, as soluções independentes são y1=e^t e y2=t e^t. Então
yH = C1 e^t + C2 t e^t.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é 8e^-t e -1 não é raiz da característica, usamos o palpite
yP = A e^-t.
Derivando e substituindo em y'' - 2y' + y damos:
yP'' - 2yP' + yP = (A e^-t) -2(-A e^-t) + (A e^-t) = 4A e^-t = 8 e^-t
Logo 4A = 8 e A=2, ou seja
yP = 2 e^-t.

Passo 4

A solução geral é
y = C1 e^t + C2 t e^t + 2 e^-t.
Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0)=C1 + 0 + 2 = 0 C1=-2.
Para a derivada,
y' = C1 e^t + C2(e^t + t e^t) - 2e^-t,
em t=0
y'(0)=C1 + C2 - 2 = 0 -2 + C2 - 2 = 0 C2=4.

Passo 5

Substituindo C1=-2 e C2=4 na solução, fica
y(t) = -2e^t + 4t e^t + 2e^-t.
Logo em t=1:
y(1) = -2e + 4e + 2e^-1 = 2e + 2e^-1.

Resposta

2e + 2e^{-1}

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