Resolver a equação diferencial :
l y^prime(x)=x y(x)+x e^-x^2 y^2(x) y(0)=12

Passo 1

A gente tem a EDO y'(x) = x y(x) + x e^-x^2 y^2(x) com condição inicial y(0)=tfrac12. O conteúdo é equação de Bernoulli de ordem 2 e vamos precisar transformar numa EDO linear via a troca u=y^1-n=y^-1.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão de Bernoulli y' + P(x)y = Q(x) y^n. Reescrevendo:
y' - x y = x e^-x^2 y^2,
logo P(x)=-x, Q(x)=x e^-x^2 e n=2.

Passo 3

Fazemos u = y^-1, daí u' = -y'y^2. Dividindo a EDO por y^2 e substituindo, chegamos à equação linear em u:
u' + x,u = -x e^-x^2

Passo 4

Para resolver essa EDO linear usamos fator integrante
mu(x) = e^integral x,dx = e^x^2/2
Multiplicando a equação por mu(x) e observando que (u,e^x^2/2)' = u' e^x^2/2 + x u e^x^2/2, temos
(u e^x^2/2)' = -x e^-x^2 e^x^2/2 = -x e^-x^2/2
Integrando ambos os lados,
u e^x^2/2 = integral -x e^-x^2/2,dx + C = e^-x^2/2 + C

Passo 5

Agora usamos a condição inicial y(0)=1/2, logo u(0)=2. Da expressão u(0)e^0=e^0+C vem 1+C=2 e C=1. Assim u(x)=e^-x^2+e^-x^2/2 e a solução original é y(x)=1/u(x).

Resposta

y(x)=11+e^-x^2/2

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