(valor: 3,5) Resolva as integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+10 x+26} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+10x+26}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional usando conclusão do quadrado e a fórmula padrão
\int \frac{du}{u^{2}+1} = \arctan(u)+C.

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador:
x^{2}+10x+26 = (x+5)^{2} + 1.
Então a integral vira
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x+5)^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Fazendo a substituição u = x + 5, temos du = dx. Quando x\to-\infty, u\to-\infty e quando x\to+\infty, u\to+\infty. Assim
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x+5)^{2}+1}\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{u^{2}+1}\,du.

Passo 4

Usando a primitiva conhecida,
\int \frac{du}{u^{2}+1} = \arctan(u) + C,
temos
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{du}{u^{2}+1} = \bigl[\arctan(u)\bigr]_{-\infty}^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - \Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr) = \pi.

Resposta

\pi

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