QUEST. 1) Considere uma distribuição de cargas linear e infinita, com densidade linear de cargas \rho_{\mathrm{L}} =10 \rho_{0} \mathrm{C} / \mathrm{m}, paralela ao eixo y e que passa pelo ponto ( -1,0,-1 ) do sistema de coordenadas cartesianas, e o ponto \mathrm{P}(0,4,1) também no sistema de coordenadas cartesianas. Determine o campo elétrico no ponto P , no sistema de coordenadas cilíndricas; (\mathbf{2 , 5})

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma linha infinita de carga, paralela ao eixo y.
  • Densidade linear de carga \lambda = 10\,\rho_{0} (unidade \mathrm{C/m}).
  • A linha passa pelo ponto (-1,0,-1) no sistema cartesiano.
  • Queremos o campo elétrico no ponto P(0,4,1).
    O que é pedido:
  • Determinar \mathbf{E} no ponto P, expresso no sistema de coordenadas cilíndricas apropriado (ou seja, coordenadas cilíndricas cujo eixo coincide com a linha de carga — eixo y aqui).

Passo 2

Conceito físico e fórmula-chave (aula rápida):
  • Para uma linha de carga infinita e retilínea com densidade linear \lambda, o campo elétrico é radial (perpendicular à linha) e tem módulo dado por Gauss:
|\mathbf{E}|=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r},
onde:
  • \lambda é a densidade linear de carga (C/m),
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo,
  • r é a distância perpendicular (raio) do ponto até o eixo da linha.
  • Derivação curta (intuição): escolha uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a linha, raio r e comprimento L. Fluxo \Phi=E(2\pi r L). Carga envolvida Q_{\text{int}}=\lambda L. Pela Lei de Gauss \Phi=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}, daí E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.

Passo 3

Determinar a posição relativa entre a linha e o ponto P:
  • A linha está paralela a y passando por (-1,0,-1). Assim, qualquer ponto da linha tem coordenadas (-1,y,-1).
  • O vetor que liga a posição da linha (escolho o ponto (-1,0,-1) como referência) ao ponto P(0,4,1) é, em componentes cartesianas,
\Delta \mathbf{r} = (0-(-1),\;4-0,\;1-(-1)) = (1,\;4,\;2).
  • A componente perpendicular à linha (isto é, a projeção no plano x\!-\!z, já que a linha é paralela a y) é
\Delta \mathbf{r}_{\perp} = (1,\;0,\;2).
Essa é a direção do campo (do eixo da linha para P).

Passo 4

Calcular a distância perpendicular r entre a linha e P:
  • A distância perpendicular é o comprimento de \Delta \mathbf{r}_{\perp}:
r = \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.

Passo 5

Calcular o módulo do campo usando a fórmula da linha infinita:
  • Substituindo \lambda=10\,\rho_{0} e r=\sqrt{5},
E_{\rho} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r} = \frac{10\,\rho_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\sqrt{5}}.
  • Simplificando 10/(2\sqrt{5}) = 5/\sqrt{5} = \sqrt{5}, obtemos a forma mais simples
E_{\rho}=\frac{\sqrt{5}\,\rho_{0}}{\pi\varepsilon_{0}}.
Aqui E_{\rho} é a componente radial (no sentido do eixo da linha para P) em coordenadas cilíndricas centradas na linha.

Passo 6

Determinar o versor radial \hat{\rho} (ligando o eixo da linha ao ponto P):
  • O versor radial é a normalização de \Delta \mathbf{r}_{\perp}=(1,0,2):
\hat{\rho}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2).
  • Em palavras: em coordenadas cilíndricas com eixo y, o campo aponta radialmente desse eixo para P e não tem componente azimutal nem componente ao longo do eixo y.

Passo 7

Escrever o campo vetorial em coordenadas cilíndricas (forma final) e verificar componentes cartesianas (checagem):
  • Em coordenadas cilíndricas (eixos: \rho,\varphi,y, com \rho medindo distância ao eixo da linha),
\mathbf{E}(P)=E_{\rho}\,\hat{\rho}=\frac{\sqrt{5}\,\rho_{0}}{\pi\varepsilon_{0}}\,\hat{\rho},
com \hat{\rho}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2) em componentes cartesianas.
  • Se alguém quiser a forma em componentes cartesianas (cheque rápido), multiplicando:
\mathbf{E}(P)=\frac{\sqrt{5}\,\rho_{0}}{\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2) =\left(\frac{\rho_{0}}{\pi\varepsilon_{0}},\;0,\;\frac{2\rho_{0}}{\pi\varepsilon_{0}}\right).
Isso confirma que a direção e magnitude estão consistentes.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(P)=\frac{\sqrt{5}\,\rho_{0}}{\pi\varepsilon_{0}}\,\hat{\rho}

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