QUEST. 1) Considere uma distribuição de cargas linear e infinita, com densidade linear de cargas
, paralela ao eixo y e que passa pelo ponto (
) do sistema de coordenadas cartesianas, e o ponto
também no sistema de coordenadas cartesianas. Determine o campo elétrico no ponto P , no sistema de coordenadas cilíndricas;
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma linha infinita de carga, paralela ao eixo
. - Densidade linear de carga
(unidade ). - A linha passa pelo ponto
no sistema cartesiano. - Queremos o campo elétrico no ponto
.
O que é pedido: - Determinar
no ponto , expresso no sistema de coordenadas cilíndricas apropriado (ou seja, coordenadas cilíndricas cujo eixo coincide com a linha de carga — eixo aqui).
Passo 2
Conceito físico e fórmula-chave (aula rápida):
- Para uma linha de carga infinita e retilínea com densidade linear
, o campo elétrico é radial (perpendicular à linha) e tem módulo dado por Gauss:
onde:
-
é a densidade linear de carga (C/m), -
é a permissividade do vácuo, -
é a distância perpendicular (raio) do ponto até o eixo da linha. - Derivação curta (intuição): escolha uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a linha, raio
e comprimento . Fluxo . Carga envolvida . Pela Lei de Gauss , daí .
Passo 3
Determinar a posição relativa entre a linha e o ponto
:
- A linha está paralela a
passando por . Assim, qualquer ponto da linha tem coordenadas . - O vetor que liga a posição da linha (escolho o ponto
como referência) ao ponto é, em componentes cartesianas,
- A componente perpendicular à linha (isto é, a projeção no plano
, já que a linha é paralela a ) é
Essa é a direção do campo (do eixo da linha para
).
Passo 4
Calcular a distância perpendicular
entre a linha e
:
- A distância perpendicular é o comprimento de
:
Passo 5
Calcular o módulo do campo usando a fórmula da linha infinita:
- Substituindo
e ,
- Simplificando
, obtemos a forma mais simples
Aqui
é a componente radial (no sentido do eixo da linha para
) em coordenadas cilíndricas centradas na linha.
Passo 6
Determinar o versor radial
(ligando o eixo da linha ao ponto
):
- O versor radial é a normalização de
:
- Em palavras: em coordenadas cilíndricas com eixo
, o campo aponta radialmente desse eixo para e não tem componente azimutal nem componente ao longo do eixo .
Passo 7
Escrever o campo vetorial em coordenadas cilíndricas (forma final) e verificar componentes cartesianas (checagem):
- Em coordenadas cilíndricas (eixos:
, com medindo distância ao eixo da linha),
com
em componentes cartesianas.
- Se alguém quiser a forma em componentes cartesianas (cheque rápido), multiplicando:
Isso confirma que a direção e magnitude estão consistentes.