QUESTÃ0 01

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}}
é convergente ou divergente?
Resposta: A série geométrica dada é convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}}
e pergunta se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é série geométrica, e vamos usar o critério de convergência para séries geométricas, que diz que uma série
\sum_{n=0}^\infty ar^n
converge se, e somente se, |r|<1.

Passo 2

Reescrevendo a série na forma padrão de série geométrica, note que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{n}.
Aqui o primeiro termo é a=(1/5) (quando n=1) e a razão comum é r=(1/5).

Passo 3

Aplicando o critério de convergência de séries geométricas, precisamos verificar |r|. Como
|r| = \bigl|\tfrac{1}{5}\bigr| = 0{,}2 < 1,
concluímos que a série converge.

Passo 4

Se quisermos, podemos ainda calcular a soma da série. A soma de
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}
é dada por
\frac{r}{1-r},
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}} =\frac{\tfrac{1}{5}}{1-\tfrac{1}{5}} =\frac{1/5}{4/5} =\frac{1}{4}.

Resposta

A série é convergente.

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