QUESTÃ0 03

Utilizando o Teste da Comparação, determine se a série dada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}+2}
Resposta: Pelo Teste da Comparação, pode-se afirmar que a série dada é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}+2}
usando o Teste da Comparação. Vamos comparar com uma série geométrica de termo geral mais simples.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1, temos
4^{n}+2 > 4^{n} \quad\Longrightarrow\quad 0 < \frac{1}{4^{n}+2} < \frac{1}{4^{n}}.

Passo 3

A série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}}
converge porque sua razão é r=\tfrac14 e \lvert r\rvert<1.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação Direta, como
0 \le \frac{1}{4^{n}+2} \le \frac{1}{4^{n}}
e a série maior \sum 1/4^{n} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}+2}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}+2} é convergente.

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