QUESTÃ0 02

Utilizando o Teste da Divergência, diga se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7 n^{2}}{8 n^{2}+1}
é convergente ou divergente?
Resposta: Pelo Teste da Divergência, pode-se afirmar que a série dada é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7n^{2}}{8n^{2}+1}
usando o Teste da Divergência. Esse teste diz que, se o termo geral \tfrac{7n^{2}}{8n^{2}+1} não tende a zero quando n\to\infty, então a série diverge.

Passo 2

Vamos calcular o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty} \frac{7n^{2}}{8n^{2}+1}
Dividindo numerador e denominador por n^{2}, temos
\lim_{n\to\infty} \frac{7}{8 + \tfrac{1}{n^{2}}} = \frac{7}{8}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty} \frac{7n^{2}}{8n^{2}+1} = \frac{7}{8} \neq 0,
o termo geral não se anula. Pelo Teste da Divergência, a série não pode convergir.

Resposta

A série é divergente.

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