Questão 01 (12 pontos) Forneça a solução do problema de valor inicial abaixo.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial para a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçantes mistas (constante e dirac):
O conteúdo aqui é resolver a parte homogênea, achar uma particular para o termo constante e depois tratar o impulso
usando a resposta ao impulso do sistema.
Passo 2
Procuramos uma solução particular
para a parte constante
. Como o lado direito é constante, assumemos
Então
e
, e da EDO
segue
Passo 3
Agora a parte homogênea satisfaz
A equação característica é
Logo
Passo 4
A solução geral antes do impulso é
Usando
e
:
- Em ,
⇒
- Derivando
- Em
- Derivando
então em
:
Assim
Passo 5
Para o impulso
usamos a resposta ao impulso do sistema (com condições nulas)
Um impulso de magnitude
em
gera o acréscimo
Passo 6
Somando a solução base e o efeito do impulso, obtemos a solução completa: