Questão 01 (12 pontos) Forneça a solução do problema de valor inicial abaixo.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=-5-6 \delta(t-3), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçantes mistas (constante e dirac):
y'' - 2y' + 5y = -5 \;-\;6\,\delta(t-3), \quad y(0)=1,\;y'(0)=2.
O conteúdo aqui é resolver a parte homogênea, achar uma particular para o termo constante e depois tratar o impulso \delta(t-3) usando a resposta ao impulso do sistema.

Passo 2

Procuramos uma solução particular y_p para a parte constante -5. Como o lado direito é constante, assume­mos
y_p = C,\quad C\;\text{constante.}
Então y_p''=0 e y_p'=0, e da EDO
0 - 0 + 5C = -5
segue
5C = -5 \quad\Longrightarrow\quad C = -1.

Passo 3

Agora a parte homogênea satisfaz
y_h'' - 2y_h' +5y_h = 0.
A equação característica é
r^2 -2r +5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 1 \pm 2i.
Logo
y_h(t) = e^{t}\bigl(A\cos(2t) + B\sin(2t)\bigr).

Passo 4

A solução geral antes do impulso é
y_{\text{base}}(t) = y_h(t) + y_p = e^{t}\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr) -1.
Usando y(0)=1 e y'(0)=2:
- Em t=0, y(0)=A -1 = 1 A = 2.
- Derivando
y_{\text{base}}'(t) = e^{t}(A\cos2t + B\sin2t) + e^{t}(-2A\sin2t +2B\cos2t),
então em t=0:
y'(0) = A + 2B = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2 +2B =2 \quad\Longrightarrow\quad B = 0.
Assim
y_{\text{base}}(t) = 2\,e^{t}\cos(2t) -1, \quad t<3.

Passo 5

Para o impulso -6\,\delta(t-3) usamos a resposta ao impulso do sistema (com condições nulas)
h(t) = \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac1{s^2-2s+5}\Bigr\} = \tfrac12\,e^{t}\sin(2t)\,u(t).
Um impulso de magnitude -6 em t=3 gera o acréscimo
-6\,h(t-3)\,u(t-3) = -6\cdot\tfrac12\,e^{(t-3)}\sin\bigl(2(t-3)\bigr)\,u(t-3) = -3\,e^{\,t-3}\sin\bigl(2(t-3)\bigr)\,u(t-3).

Passo 6

Somando a solução base e o efeito do impulso, obtemos a solução completa:
y(t) = \begin{cases} 2\,e^{t}\cos(2t) -1, & 0 \le t < 3,\\[6pt] 2\,e^{t}\cos(2t) -1 \;-\;3\,e^{\,t-3}\sin\bigl(2(t-3)\bigr), & t\ge3. \end{cases}]

Resposta

y(t) = \begin{cases} 2\,e^{t}\cos(2t) -1, & 0 \le t < 3,\\[6pt] 2\,e^{t}\cos(2t) -1 \;-\;3\,e^{\,t-3}\sin\bigl(2(t-3)\bigr), & t\ge3. \end{cases}]

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