Questão 16: Parametrize as superfífcies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S=\left{(x, y, z) \in \Re^{3} / x{2}+y{2}+z^{2}=4, \quad z \geq 1\right}

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a parte do esfera de raio 2 dada por x²+y²+z²=4 com z≥1. O conteúdo aqui é coordenadas esféricas, pois elas se adaptam naturalmente a superfícies esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as fórmulas de parametrizeção: x=ρ sin
φ cos
θ, y=ρ sin
φ sin
θ, z=ρ cos
φ, onde ρ≥0, φ∈[0,π] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z positivo) e θ∈[0,2π) é o ângulo azimutal (no plano xy).
Como a superfície é a esfera de raio 2, tomamos ρ=2 fixo. Então a parametrização fica x(φ,θ)=2
sin
φ
cos
θ, y(φ,θ)=2
sin
φ
sin
θ, z(φ,θ)=2
cos
φ.

Passo 3

Falta impor a condição z≥1. Como z=2
cos
φ, exigimos 2
cos
φ≥1, ou seja cos
φ≥1/2. Isso implica φ≤arccos(1/2)=π/3. Portanto o parâmetro φ varia de 0 até π/3.
O parâmetro θ percorre toda a volta em torno do eixo z, então θ∈[0,2π). Assim definimos o domínio e a parametrização final.

Resposta

A parametrização é
r(φ,θ)=l(2sin φcos θ,;2sin φsin θ,;2cos φr),
com o domínio dos parâmetros dado por
0<= φ<= pi3, 0<= θ<2pi

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