Usando derivação e integração termo a termo, calcular as somas das séries de potências:
sumn=0^infty(n+4) x^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série de potências sumn=0^infty(n+4)x^n. O conteúdo da matéria é soma de séries de potências e vamos usar derivação termo a termo junto com a série geométrica.

Passo 2

Para começar, lembramos que para |x|<1 vale a série geométrica
sumn=0^inftyx^n=11-x

Passo 3

Aplicamos derivação termo a termo em sum x^n=1/(1-x):
sumn=1^inftyn,x^n-1=1(1-x)^2
Multiplicando ambos os lados por x, obtemos
sumn=1^inftyn,x^n=x(1-x)^2
Como o termo n=0 é zero, podemos escrever
sumn=0^inftyn,x^n=x(1-x)^2

Passo 4

Usando a linearidade das séries, separamos a soma em duas partes:
sumn=0^infty(n+4)x^n= sumn=0^inftyn,x^n+4sumn=0^inftyx^n =x(1-x)^2+41-x

Passo 5

Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador (1-x)^2:
x+4(1-x)(1-x)^2=4-3x(1-x)^2

Resposta

sumn=0^infty(n+4)x^n=4-3x(1-x)^2, |x|<1

Exercícios relacionados