QuestĂŁo 32: Verifique o teorema de Gauss calculando a integral de superfĂcie e a integral tripla para o campo
e
ĂŠ a superfĂcie da seguinte regiĂŁo:
Passo 1
O enunciado pede para verificar o teorema de Gauss para o campo
na região
. Vamos usar o conteúdo de divergência, integral tripla e fluxos em superfícies fechadas.
Passo 2
Primeiro calculamos a divergência do campo: a definição é
. Logo,
Passo 3
Agora fazemos a integral tripla de
sobre
em coordenadas cilíndricas
:
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Depois em
e
:
Passo 6
Em seguida calculamos o fluxo de
pela superfície fechada
dividindo em três partes.
Pela base inferior , o vetor normal é
e
, então
. Logo o fluxo é zero.
Pela base superior , o vetor normal é
e
, então
. O fluxo é
Pela base inferior
Pela base superior
Passo 7
Pela superfície lateral
, o normal é
. Em cilindricas
em
, logo
. Temos
Passo 8
Somando os três fluxos obtém-se
, exatamente o valor da integral tripla. Portanto o teorema de Gauss está verificado.
Resposta
O valor de ambas as integrais (tripla de divergência e fluxo de superfície) é
.