QuestĂŁo 32: Verifique o teorema de Gauss calculando a integral de superfĂ­cie e a integral tripla para o campo F(x, y, z)=2 x i+2 y j+z^2 k e S ĂŠ a superfĂ­cie da seguinte regiĂŁo:
W=(x, y, z) mid x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 1

Passo 1

O enunciado pede para verificar o teorema de Gauss para o campo vec F(x,y,z)=2x,vec i+2y,vec j+z^2,vec k na região W=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;0<= z<=1. Vamos usar o conteúdo de divergência, integral tripla e fluxos em superfícies fechadas.

Passo 2

Primeiro calculamos a divergência do campo: a definição é nablacdotvec F=partialpartial x(2x)+partialpartial y(2y)+partialpartial z(z^2). Logo,
nablacdotvec F=2+2+2z=4+2z

Passo 3

Agora fazemos a integral tripla de nablacdotvec F sobre W em coordenadas cilíndricas (r,theta,z):
integral triplaW(4+2z),dV=integral0^2pi!integral0^1!integral0^1(4+2z),r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^1(4+2z),dz=4cdot1+2cdot1^22=4+1=5

Passo 5

Depois em r e theta:
integral0^2pi!integral0^15r,dr,dtheta=l(5cdot1^22r)cdot2pi=52cdot2pi=5pi

Passo 6

Em seguida calculamos o fluxo de vec F pela superfície fechada S=partial W dividindo em três partes.
Pela base inferior z=0, o vetor normal é -vec k e vec F=(2x,2y,0), então vec Fcdot(-vec k)=0. Logo o fluxo é zero.
Pela base superior z=1, o vetor normal é +vec k e vec F=(2x,2y,1), então vec Fcdotvec k=1. O fluxo é
integral duplax^2+y^2<=11,dA=pi

Passo 7

Pela superfície lateral r=1, o normal é vec er. Em cilindricas vec F=(2rcostheta,2rsintheta,z^2) em r=1, logo vec Fcdotvec er=2. Temos
integral0^2pi!integral0^12,dz,dtheta=2cdot(1)cdot2pi=4pi

Passo 8

Somando os três fluxos obtém-se 0+pi+4pi=5pi, exatamente o valor da integral tripla. Portanto o teorema de Gauss está verificado.

Resposta

O valor de ambas as integrais (tripla de divergência e fluxo de superfície) é 5pi.

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