(Questão 01) [2,0 pontos] Assinale para as afirmações FALSAS e para afirmaçōes VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) LI, então ;
( ) LD, então ;
( ) ;
( ) Se ( ) é base, então ( ) é também base;
( ) Se e são pontos colineares, então .
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre vetores em R^n: projeção, dependência linear, produto escalar, base de espaço vetorial e colinearidade de pontos. Precisamos marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F).
Passo 2
Analisando “(vec v,vec w) LI, então projvec wvec v=projvec vvec w”: projvec wvec v=vec vcdotvec wvec wcdotvec w,vec w e projvec vvec w=vec vcdotvec wvec vcdotvec v,vec v.
Em geral esses vetores são diferentes, mesmo se (vec v,vec w) for LI.
Logo essa afirmação é F.
Passo 3
Analisando “Se (vec u,vec v,vec w) é LD, então [vec u,vec v,vec w]=0”:
O triplo escalar [vec u,vec v,vec w]=vec ucdot(vec vtimesvec w) é zero se e só se vec u,vec v,vec w são linearmente dependentes.
Logo essa afirmação é V.
Passo 4
Analisando “vec ucdotvec u=|vec u|”:
Por definição vec ucdotvec u=|vec u|^2, não |vec u|.
Logo essa afirmação é F.
Passo 5
Analisando “Se (vec u,vec v,vec w) é base, então (vec u+vec v,vec w,vec u+vec v+vec w) é também base”:
Note que vec u+vec v+vec w=(vec u+vec v)+vec w, ou seja, é combinação linear das duas primeiras, tornando o conjunto LD.
Logo essa afirmação é F.
Passo 6
Analisando “Se A,B,C são pontos colineares, então |AC|=|AB|+|BC|”:
Essa igualdade vale apenas se B estiver entre A e C. Colinearidade sozinha não garante isso.
Logo essa afirmação é F.