(Questão 01) [2,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmaçōes VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) (v, w) LI, então projw v=projv w;
( ) Se(u, v, w) LD, então [u, v, w]=0;
( ) u cdot u=|u|;
( ) Se ( u, v, w ) é base, então ( u+v, w, u+v+w ) é também base;
( ) Se A, B e C são pontos colineares, então |A C|=|A B|+|B C|.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre vetores em R^n: projeção, dependência linear, produto escalar, base de espaço vetorial e colinearidade de pontos. Precisamos marcar cada uma como verdadeira ( V) ou falsa ( F).

Passo 2

Analisando “ (vec v,vec w) LI, então projvec wvec v=projvec vvec w”:
projvec wvec v=vec vcdotvec wvec wcdotvec w,vec w e
projvec vvec w=vec vcdotvec wvec vcdotvec v,vec v.
Em geral esses vetores são diferentes, mesmo se (vec v,vec w) for LI.
Logo essa afirmação é F.

Passo 3

Analisando “Se (vec u,vec v,vec w) é LD, então [vec u,vec v,vec w]=0”:
O triplo escalar [vec u,vec v,vec w]=vec ucdot(vec vtimesvec w) é zero se e só se vec u,vec v,vec w são linearmente dependentes.
Logo essa afirmação é V.

Passo 4

Analisando “ vec ucdotvec u=|vec u|”:
Por definição vec ucdotvec u=|vec u|^2, não |vec u|.
Logo essa afirmação é F.

Passo 5

Analisando “Se (vec u,vec v,vec w) é base, então (vec u+vec v,vec w,vec u+vec v+vec w) é também base”:
Note que vec u+vec v+vec w=(vec u+vec v)+vec w, ou seja, é combinação linear das duas primeiras, tornando o conjunto LD.
Logo essa afirmação é F.

Passo 6

Analisando “Se A,B,C são pontos colineares, então |AC|=|AB|+|BC|”:
Essa igualdade vale apenas se B estiver entre A e C. Colinearidade sozinha não garante isso.
Logo essa afirmação é F.

Resposta

(F)
(V)
(F)
(F)
(F)

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