(Questão 01) [2,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) (v, w) LI, então projw v=projv w;
( ) Se (u, v, w) LD, então [u, v, w]=0;
( ) u cdot u=|u|;
( ) Se (u, v, w) é base, então (u+v, w, u+v+w) é também base;
( ) Se A, B e C são pontos colineares, então |A C|=|A B|+|B C|.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre vetores em R^3 envolvendo projeção, dependência linear, produto escalar, base e colinearidade de pontos. Vamos usar conceitos de projeção ortogonal, produto misto (triplo escalar), norma, teste de independência linear e propriedades de segmentos colineares para decidir Verdadeiro (V) ou Falso (F) em cada caso.

Passo 2

Afirmação 1: “Se (vec v,vec w) é LI, então projvec wvec v=projvec vvec w.”
Temos
projvec wvec v=vec vcdotvec w|vec w|^2,vec w
e
projvec vvec w=vec vcdotvec w|vec v|^2,vec v.
Para vetores não colineares esses dois vetores não coincidem em geral.
Resposta: F.

Passo 3

Afirmação 2: “Se (vec u,vec v,vec w) é LD, então [vec u,vec v,vec w]=0.”
O produto misto [vec u,vec v,vec w] é zero se e só se os três vetores forem linearmente dependentes (coplanares).
Resposta: V.

Passo 4

Afirmação 3: “ vec ucdotvec u=|vec u|.”
Por definição vec ucdotvec u=|vec u|^2, não igual a |vec u| a menos que |vec u|=0 ou 1. Em geral é falso.
Resposta: F.

Passo 5

Afirmação 4: “Se (vec u,vec v,vec w) é base, então (vec u+vec v,;vec w,;vec u+vec v+vec w) é também base.”
O determinante de l[vec u+vec v,vec w,vec u+vec v+vec wr] é zero (as três colunas ficam dependentes), logo não formam base.
Resposta: F.

Passo 6

Afirmação 5: “Se A,B,C são colineares, então |AC|=|AB|+|BC|.”
Isso vale somente se B estiver entre A e C. Em geral três pontos colineares não garantem essa soma exata de distâncias.
Resposta: F.

Resposta

(F)
(V)
(F)
(F)
(F)

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