(Questão 01) [2,0 pontos] Assinale para as afirmações FALSAS e para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) LI, então ;
( ) Se LD, então ;
( ) ;
( ) Se é base, então é também base;
( ) Se e são pontos colineares, então .
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre vetores em R^3 envolvendo projeção, dependência linear, produto escalar, base e colinearidade de pontos. Vamos usar conceitos de projeção ortogonal, produto misto (triplo escalar), norma, teste de independência linear e propriedades de segmentos colineares para decidir Verdadeiro (V) ou Falso (F) em cada caso.
Passo 2
Afirmação 1: “Se (vec v,vec w) é LI, então projvec wvec v=projvec vvec w.”
Temos projvec wvec v=vec vcdotvec w|vec w|^2,vec w
e projvec vvec w=vec vcdotvec w|vec v|^2,vec v.
Para vetores não colineares esses dois vetores não coincidem em geral.
Resposta: F.
Passo 3
Afirmação 2: “Se (vec u,vec v,vec w) é LD, então [vec u,vec v,vec w]=0.”
O produto misto [vec u,vec v,vec w] é zero se e só se os três vetores forem linearmente dependentes (coplanares).
Resposta: V.
Passo 4
Afirmação 3: “vec ucdotvec u=|vec u|.”
Por definição vec ucdotvec u=|vec u|^2, não igual a |vec u| a menos que |vec u|=0 ou 1. Em geral é falso.
Resposta: F.
Passo 5
Afirmação 4: “Se (vec u,vec v,vec w) é base, então (vec u+vec v,;vec w,;vec u+vec v+vec w) é também base.”
O determinante de l[vec u+vec v,vec w,vec u+vec v+vec wr] é zero (as três colunas ficam dependentes), logo não formam base.
Resposta: F.
Passo 6
Afirmação 5: “Se A,B,C são colineares, então |AC|=|AB|+|BC|.”
Isso vale somente se B estiver entre A e C. Em geral três pontos colineares não garantem essa soma exata de distâncias.
Resposta: F.