(Questão 01) [2,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) (\vec{v}, \vec{w}) LI, então \operatorname{proj}_{\vec{w}} \vec{v}=\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}.
( ) \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}.
( ) Se ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) é base, então ( \vec{v}, \vec{w}, \vec{u} ) é também base.
( ) Para quaisquer vetores \vec{u}, \vec{v},\|\vec{u}+\vec{v}\| \leq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre projeção vetorial, produto interno e ortogonalidade, permutação de base e desigualdade triangular. Precisamos determinar se cada afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Afirmação 1: “Se (\vec{v},\vec{w}) são LI, então \mathrm{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}.”
Essa igualdade não vale em geral, pois as projeções geralmente são distintas.
Resposta: F

Passo 3

Afirmação 2: “ \vec{u}\cdot\vec{v}=0\iff\vec{u}\perp\vec{v}.”
Definição de produto interno em espaço euclidiano: é zero se e somente se os vetores são ortogonais.
Resposta: V

Passo 4

Afirmação 3: “Se (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é base, então (\vec{v},\vec{w},\vec{u}) também é base.”
Permutar vetores de uma base preserva independência linear e geração do espaço.
Resposta: V

Passo 5

Afirmação 4: “Para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v}, \|\vec{u}+\vec{v}\|\le\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|.”
Essa é a desigualdade triangular válida em qualquer espaço normado induzido por produto interno.
Resposta: V

Resposta

(F)
(V)
(V)
(V)

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