(Questão 05) [2,0 pontos] Determine a equação da reta r que contém o ponto P=(0,0,1) e é perpendicular ao plano \pi: x+y-z+5=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por P=(0,0,1) e é perpendicular ao plano \pi: x+y-z+5=0. Para resolver precisamos usar o vetor normal ao plano como vetor diretor da reta e então escrever a forma paramétrica (ou simétrica) da reta.

Passo 2

Os coeficientes de x, y e z na equação do plano \pi: x+y-z+5=0 formam o vetor normal
n = (1,\,1,\,-1).
Como a reta é perpendicular ao plano, seu vetor diretor v pode ser escolhido igual a n:
v = (1,\,1,\,-1).

Passo 3

Montamos a forma paramétrica da reta usando o ponto P=(0,0,1) e o vetor diretor v=(1,1,-1):
\begin{cases} x = 0 + 1\cdot t = t,\\\ y = 0 + 1\cdot t = t,\\\ z = 1 + (-1)\cdot t = 1 - t. \end{cases}

Passo 4

Convertendo para a forma simétrica, basta isolar t em cada coordenada:
\frac{x-0}{1} \;=\;\frac{y-0}{1}\;=\;\frac{z-1}{-1}.

Resposta

A reta r pode ser dada por
\begin{cases} x = t,\\\ y = t,\\\ z = 1 - t, \end{cases}
ou equivalentemente
\frac{x}{1} \;=\;\frac{y}{1}\;=\;\frac{z-1}{-1}.

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