(Questão 01) [2,0 pontos] A equação de uma hipérbole é -\frac{x^{2}}{p^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1. Sabendo que a hipérbole passa pelos pontos \left(1, \frac{\sqrt{45}}{2}\right) e \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{153}}{4}\right), determine p e q.
(a) p=2, q=3
(b) p=2, q=2
(c) p=3, q=2
(d) p=3, q=4
(e) p=1, q=4

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
-\frac{x^{2}}{p^{2}} + \frac{y^{2}}{q^{2}} = 1
e diz que ela passa por \bigl(1,\tfrac{\sqrt{45}}{2}\bigr) e \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{153}}{4}\bigr). Precisamos encontrar p e q tais que ambas as coordenadas satisfaçam a equação.

Passo 2

Substituindo \bigl(1,\tfrac{\sqrt{45}}{2}\bigr) em -\tfrac{x^{2}}{p^{2}}+\tfrac{y^{2}}{q^{2}}=1, obtemos
-\frac{1^{2}}{p^{2}} \;+\;\frac{\bigl(\tfrac{\sqrt{45}}{2}\bigr)^{2}}{q^{2}} \;=\;1
ou seja
-\frac{1}{p^{2}} \;+\;\frac{45}{4\,q^{2}} = 1.

Passo 3

Substituindo \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{153}}{4}\bigr), obtemos
-\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}}{p^{2}} \;+\;\frac{\bigl(\tfrac{\sqrt{153}}{4}\bigr)^{2}}{q^{2}} = 1
que é
-\frac{1}{4\,p^{2}} \;+\;\frac{153}{16\,q^{2}} = 1.

Passo 4

Para simplificar, defina
u = \frac{1}{p^{2}},\quad v = \frac{1}{q^{2}}.
As duas equações viram
-\,u + \frac{45}{4}\,v = 1 \quad\Longrightarrow\quad -4\,u + 45\,v = 4
e
-\,\frac{1}{4}u + \frac{153}{16}\,v = 1 \quad\Longrightarrow\quad -4\,u + 153\,v = 16.
Subtraindo a primeira da segunda:
(153 - 45)\,v = 16 - 4 \quad\Longrightarrow\quad 108\,v = 12 \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{1}{9}.
Então q^{2} = \frac1{v} = 9, logo q = 3. Voltando em -4u +45v =4:
-4\,u + 45\cdot\frac{1}{9} = 4 \quad\Longrightarrow\quad -4\,u + 5 = 4 \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{1}{4}.
Assim p^{2} = \tfrac1{u} = 4, logo p = 2.

Resposta

(a) p=2,\;q=3

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