Questão 5

Seja C=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right].
\operatorname{Um} autovetor associado a \lambda=3 é:
a) \left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1\end{array}\right]
c) \left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right]
d) \left[\begin{array}{l}3 \\\\ 2\end{array}\right]
e) \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
C = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] 1 & 2\end{pmatrix}
e pede um autovetor associado ao valor próprio \lambda = 3. Para isso, vamos montar o sistema
(C - \lambda I)\,\mathbf{v} = \mathbf{0}
e encontrar \mathbf{v}\neq\mathbf{0}.]

Passo 2

Calculemos
C - 3I = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[3pt] 1 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 & 0 \\[3pt] 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[3pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
O sistema (C-3I)(x,y)^T = (0,0)^T dá as equações
-\,x + y = 0, \quad x - y = 0,
ambas equivalentes a
y = x.]

Passo 3

Da relação y = x segue que todo autovetor não nulo é da forma
\begin{pmatrix}x \\[3pt] x\end{pmatrix},\quad x\neq 0.
Entre as opções, só a alternativa (e) \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\[3pt] 1\end{pmatrix}
é proporcional a (x,x).]

Resposta

(e) \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\[3pt] 1\end{pmatrix}]

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