(Questão 04) [2,0 pontos] Determine a equação geral do plano que contém as retas
r: X=(-1,4,13)+\lambda(-1,0,4) \quad \text { e } \quad s: \frac{x+12}{7}=\frac{y+8}{6}=\frac{z+3}{2} .
(a) \pi:-3 x-5 y+10 z+6=0
(b) \pi: x+z+3=0
(c) \pi:-x+2 y-5 z+6=0
(d) \pi: 2 x+3 y+z=0
(e) \pi: 4 x-5 y+z+11=0

Passo 1

O enunciado pede determinar a equação geral do plano que contém as retas
r:\;X=(-1,4,13)+\lambda(-1,0,4)
e
s:\;\frac{x+12}{7}=\frac{y+8}{6}=\frac{z+3}{2}.
Este é um problema de geometria analítica no espaço: vamos extrair vetores diretores e pontos das retas, usar o produto vetorial para achar o vetor normal ao plano e, em seguida, montar sua equação geral.

Passo 2

Da reta r temos o ponto \,P_r=(-1,4,13)\,
e o vetor diretor \,v_r=(-1,0,4).
Da reta s podemos tomar o ponto para parâmetro igual a zero, ou seja \,P_s=(-12,-8,-3)\,
e o vetor diretor extraído do denominador simétrico é \,v_s=(7,6,2).

Passo 3

O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
n \;=\; v_r \times v_s \;=\; \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] -1 & 0 & 4 \\[3pt] 7 & 6 & 2 \end{vmatrix} \;=\;(-4,\,5,\,-1).]

Passo 4

A forma geral do plano é
-4x+5y- z +D = 0.
Para achar D, substituímos o ponto P_r=(-1,4,13):
-4(-1)+5\cdot4 -13 +D = 0 \;\Longrightarrow\; 4+20-13+D=0 \;\Longrightarrow\; D=-11.
Logo a equação fica
-4x+5y - z -11 = 0.
Multiplicando por -1 para simplificar o sinal, obtemos
4x -5y + z +11 = 0.

Passo 5

Verificamos que o ponto P_s=(-12,-8,-3) satisfaz
4(-12)-5(-8)+(-3)+11 = -48+40-3+11 = 0,
logo a reta s também está contida no plano. Comparando com as alternativas, concluímos que a resposta é a letra

Resposta

(e) \pi:4x-5y+z+11=0

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