(Questão 03)[2,0 pontos] Dados os pontos A=(2 m,-1,1), B=(m, 2 m, 1) e C= (1,-1,2), determinar m de modo que o triângulo A B C seja retângulo em A.
(a) m=1 ou m=-1
(b) m=0 ou m=\frac{1}{2}
(c) m=-7 ou m=1
(d) m=-5 ou m=3
(e) m=-1 ou m=0

Passo 1

O enunciado dá os pontos \displaystyle A = (2m, -1, 1), \displaystyle B = (m, 2m, 1) e \displaystyle C = (1, -1, 2) e pede o valor de m para que o triângulo ABC seja retângulo em A. Para isso, usaremos o fato de que, em vértice reto, os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são perpendiculares, ou seja, têm produto escalar zero.

Passo 2

Calculamos o vetor \overrightarrow{AB} como diferença entre as coordenadas de B e A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (\,m - 2m,\;2m - (-1),\;1 - 1) = (-m,\;2m+1,\;0).

Passo 3

Calculamos o vetor \overrightarrow{AC} como diferença entre as coordenadas de C e A:
\overrightarrow{AC} = C - A = (\,1 - 2m,\;-1 - (-1),\;2 - 1) = (\,1 - 2m,\;0,\;1).

Passo 4

O produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} deve ser zero:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = (-m)\,(1 - 2m) + (2m+1)\cdot 0 + 0\cdot 1 = -m\,(1 - 2m) = 0.
Isso leva à equação
-m\,(1 - 2m) = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 0 \quad\text{ou}\quad 1 - 2m = 0 \,\Longrightarrow\, m = \tfrac12.

Passo 5

Portanto, os valores de m que tornam o triângulo retângulo em A são m=0 ou m=\tfrac12, o que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) m=0 ou m=\tfrac12

Exercícios relacionados