(Questão 03)[2,0 pontos] Dados os pontos A=(2 m,-1,1), B=(m, 2 m, 1) e C= (1,-1,2), determinar m de modo que o triângulo A B C seja retângulo em A.
(a) m=1 ou m=-1
(b) m=0 ou m=\frac{1}{2}
(c) m=-7 ou m=1
(d) m=-5 ou m=3
(e) m=-1 ou m=0
Passo 1
O enunciado dá os pontos \displaystyle A = (2m, -1, 1), \displaystyle B = (m, 2m, 1) e \displaystyle C = (1, -1, 2) e pede o valor de m para que o triângulo ABC seja retângulo em A. Para isso, usaremos o fato de que, em vértice reto, os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são perpendiculares, ou seja, têm produto escalar zero.
Passo 2
Calculamos o vetor \overrightarrow{AB} como diferença entre as coordenadas de B e A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (\,m - 2m,\;2m - (-1),\;1 - 1) = (-m,\;2m+1,\;0).
Passo 3
Calculamos o vetor \overrightarrow{AC} como diferença entre as coordenadas de C e A:
\overrightarrow{AC} = C - A = (\,1 - 2m,\;-1 - (-1),\;2 - 1) = (\,1 - 2m,\;0,\;1).
Passo 4
O produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} deve ser zero: