(Questão 01) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) x^{2}-2 y^{2}=0
b) x^{2}-1=0
c) 4 y^{2}+8 y-4=x^{2}-4 x
d) x^{2}=5-y^{2}
( )Retas concorrentes
( )Hipérbole
( )Circunferência
( )Retas paralelas

Passo 1

O enunciado dá quatro equações de segundo grau em x,y e pede para identificarmos cada uma como “retas concorrentes”, “retas paralelas”, “hipérbole” ou “circunferência”. Vamos usar fatoração direta quando possível e completamento de quadrados para reconhecer cada caso.

Passo 2

Analise de x^{2}-2y^{2}=0.
Fatorando como diferença de quadrados:
x^{2}-2y^{2}=(x-\sqrt{2}\,y)\,(x+\sqrt{2}\,y)=0.
Isso representa duas retas que se cruzam na origem (0,0). Logo são retas concorrentes.

Passo 3

Analise de x^{2}-1=0.
Isolando x:
x^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
São duas retas verticais distintas e paralelas entre si. Então são retas paralelas.

Passo 4

Analise de x^{2}=5-y^{2}.
Reescrevendo:
x^{2}+y^{2}=5,
que é a forma padrão de uma circunferência de centro (0,0) e raio \sqrt{5}. Portanto é uma circunferência.

Passo 5

Analise de 4y^{2}+8y-4=x^{2}-4x.
Reorganizando tudo em um lado:
x^{2}-4x \;-\;4y^{2}-8y \;+\;4 \;=\;0.
Agora completamos os quadrados:
Para x:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4.
Para y:
-4y^{2}-8y=-4\bigl(y^{2}+2y\bigr)=-4\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)=-4(y+1)^{2}+4.
Substituindo de volta:
(x-2)^{2}-4 \;-\;4(y+1)^{2}+4 \;+\;4=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^{2}-4(y+1)^{2}=-4.
Multiplicando por -1:
4(y+1)^{2}-(x-2)^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(y+1)^{2}}{1}-\frac{(x-2)^{2}}{4}=1,
que é a forma típica de uma hipérbole.

Resposta

(a) Retas concorrentes
(b) Retas paralelas
(c) Hipérbole
(d) Circunferência

Exercícios relacionados