Questão 3. Calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left(x^{e}+e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\bigl(x^{e}+e^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de soma de funções, usando linearidade, e as fórmulas básicas \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} e \displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral para separar em duas integrais:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{e}+e^{x}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}x^{e}\,dx \;+\;\int_{0}^{1}e^{x}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int_{0}^{1}x^{e}\,dx, usamos
\int x^{e}\,dx = \frac{x^{e+1}}{e+1}.
Avaliando de 0 a 1, obtemos
\left[\frac{x^{e+1}}{e+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{\,e+1}}{e+1}-\frac{0^{\,e+1}}{e+1} = \frac{1}{e+1}.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{0}^{1}e^{x}\,dx, usamos
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Avaliando de 0 a 1, obtemos
\left[e^{x}\right]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0} = e-1.

Passo 5

Somando os resultados:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{e}+e^{x}\bigr)\,dx = \frac{1}{e+1} \;+\;(e-1).

Resposta

\frac{1}{e+1} + e - 1.

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