Questão 1 (4 pts) Um quadrado com lados paralelos aos eixos x e y de um plano cartesiano tem arestas de 2,00 \mathrm{~cm}, com um de seus vértices localizado na origem. Cargas pontuais fixas q_{1}=1,00 \mu \mathrm{C}, q_{2}=-2,00 \mu \mathrm{C}, q_{3}=3,00 \mu \mathrm{C} e q_{4}=-4,00 \mu \mathrm{C} estão posicionadas nos vértices do quadrado. A carga q_{1} está na origem, e as demais cargas ( q_{2}, q_{3} e q_{4} ) ocupam os outros vértices, dispostas no sentido anti-horário.
(a) Faça um diagrama no plano cartesiano x y, indicando o quadrado, todas as cargas e as forças que atuam sobre q_{1} devido às demais cargas.
(b) Determine a força eletrostática resultante que atua sobre q_{1}, utilizando notação com vetores unitários.
(c) Faça um diagrama semelhante ao do item (a), agora indicando os vetores de campo elétrico gerados por cada carga no centro geométrico do quadrado.
(d) Calcule o módulo do campo elétrico resultante no centro geométrico do quadrado.

Passo 1

O enunciado descreve um quadrado de lado a=2{,}00,cm \,(=0{,}02,m ) com vértice em (0,0), contendo cargas puntiformes
q_1=1{,}00\:\mu\mathrm{C},\;q_2=-2{,}00\:\mu\mathrm{C},\;q_3=3{,}00\:\mu\mathrm{C},\;q_4=-4{,}00\:\mu\mathrm{C}
nos vértices, dispostas no sentido anti-horário em (0,0), (0,a), (a,a), (a,0).
Precisamos calcular:
(a) as forças sobre q_1 em (0,0) devidas às demais cargas e esboçar o diagrama;
(b) a resultante vetorial \vec F_\mathrm{res} em q_1;
(c) o diagrama dos vetores \vec E no centro do quadrado \bigl(a/2,a/2\bigr);
(d) o módulo do campo elétrico resultante no centro.

Passo 2

Usamos a Lei de Coulomb em forma vetorial:
\vec F_{1i} = k\,\frac{q_1\,q_i}{r_{1i}^2}\,\hat r_{1i}, \quad k=9{,}0\times10^9\:\mathrm{N\,m^2/C^2}.
Em todos os casos r_{1i}=a=0{,}02,m, salvo para q_3 cujo r_{13}=\sqrt{2}\,a.

Passo 3

Cálculo de cada força em q_1:
  1. De q_2 em (0,a), distância a, atrativa q_2<0, no eixo +y:
F_{21}=k\frac{(1{,}0\times10^{-6})(2{,}0\times10^{-6})}{a^2} =45\:\mathrm{N}, \quad \vec F_{21}=45\,\hat{\jmath}\;\mathrm{N}.
  1. De q_4 em (a,0), distância a, atrativa q_4<0, no eixo +x:
F_{41}=k\frac{(1{,}0\times10^{-6})(4{,}0\times10^{-6})}{a^2} =90\:\mathrm{N}, \quad \vec F_{41}=90\,\hat{\imath}\;\mathrm{N}.
  1. De q_3 em (a,a), distância \sqrt2\,a, repulsiva q_3>0, direção -\bigl(\hat{\imath}+\hat{\jmath}\bigr)/\sqrt2:
F_{31} = k\frac{(1{,}0\times10^{-6})(3{,}0\times10^{-6})}{( \sqrt2\,a)^2} =33{,}75\:\mathrm{N}, \quad \vec F_{31} =-\frac{33{,}75}{\sqrt2}\bigl(\hat{\imath}+\hat{\jmath}\bigr) \approx -23{,}87\,\hat{\imath}-23{,}87\,\hat{\jmath}\;\mathrm{N}.

Passo 4

Somando vetorialmente:
\vec F_\mathrm{res} =\vec F_{21}+\vec F_{41}+\vec F_{31} =(90-23{,}87)\,\hat{\imath}+(45-23{,}87)\,\hat{\jmath} =66{,}13\,\hat{\imath}+21{,}13\,\hat{\jmath}\;\mathrm{N}.

Passo 5

No centro C(a/2,a/2), a cada carga q_i corresponde
\vec E_i = k\,\frac{q_i}{r_i^2}\,\hat r_i,
com r_i=\sqrt2\,(a/2)=a/\sqrt2. O diagrama mostra 4 vetores partindo das posições das cargas em direção ao centro (ou saindo, no caso de carga positiva).

Passo 6

Cálculo rápido dos módulos:
E_1=\frac{k\,|q_1|}{(a/\sqrt2)^2}=4{,}5\times10^7\:\mathrm{N/C},\quad E_2=9{,}0\times10^7\:\mathrm{N/C},\quad E_3=1{,}35\times10^8\:\mathrm{N/C},\quad E_4=1{,}80\times10^8\:\mathrm{N/C}.
As componentes se cancelam quase totalmente em x, sobrando \displaystyle E_x\approx2,0\times10^4\:\mathrm{N/C},\; E_y\approx-1,273\times10^8\:\mathrm{N/C}.

Passo 7

O módulo do campo resultante é
E_\mathrm{res} =\sqrt{E_x^2+E_y^2} \approx1,27\times10^8\:\mathrm{N/C}.

Resposta

(a) No plano xy, coloque o quadrado com vértices em (0,0),(0,0{,}02),(0{,}02,0{,}02),(0{,}02,0). Em (0,0) está q_1; desenhe
\vec F_{21} para cima,
\vec F_{41} para a direita,
\vec F_{31} para dentro do primeiro quadrante, em direção oposta a (0{,}02,0{,}02).
(b) \displaystyle\vec F_\mathrm{res}=66{,}13\,\hat{\imath}+21{,}13\,\hat{\jmath}\;\mathrm{N}.
(c) No centro (0{,}01,0{,}01), desenhe quatro vetores de campo cada um apontando para/sobre o centro conforme o sinal de q_i.
(d) \displaystyle E_\mathrm{res}\approx1{,}27\times10^8\:\mathrm{N/C}.

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