Questão 3. Calcule a integral.
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\bigl(x^{3}-2x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo: primeiro encontramos uma antiderivada F(x) de f(x)=x^3-2x usando a regra de potência, e depois aplicamos
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Passo 2

Vamos achar a antiderivada F(x) de f(x)=x^3-2x. Usando a regra de potência:
\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}, \qquad \int -2x\,dx = -2\cdot\frac{x^2}{2} = -x^2.
Logo,
F(x)=\frac{x^4}{4}-x^2.

Passo 3

Agora avaliamos F(x) nos limites x=2 e x=-1:
F(2)=\frac{2^4}{4}-2^2 = \frac{16}{4}-4 =4-4=0,
F(-1)=\frac{(-1)^4}{4}-(-1)^2 = \frac{1}{4}-1 = -\frac{3}{4}.

Passo 4

Pela fórmula da integral definida, temos
\int_{-1}^{2}\bigl(x^3-2x\bigr)\,dx = F(2)-F(-1) = 0 - \Bigl(-\tfrac{3}{4}\Bigr) = \frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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