(Questão EXTRA) [\mathbf{1 , 0 0}] Ache uma equação da superfície esférica cilíndrica de geratrizes paralelas ao vetor \vec{v}=(2,-1,1) e circunscrita à superfície esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede uma superfície de cilindro cujas geratrizes são paralelas a \vec v=(2,-1,1) e que seja circunscrita à esfera unitária
x^2+y^2+z^2=1.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que esse cilindro é o lugar geométrico dos pontos cuja distância à reta que passa pela origem e tem direção \vec v é igual a 1 (o raio da esfera).

Passo 2

Para qualquer ponto X=(x,y,z), a distância à reta de direção \vec v que passa pela origem é dada por
d(X,\text{reta})=\frac{\|\vec v\times X\|}{\|\vec v\|}.
Como o cilindro deve tocar (ser tangente) à esfera de raio 1, exige-se
\frac{\|\vec v\times X\|}{\|\vec v\|}=1.

Passo 3

Elevando ao quadrado, a condição do cilindro fica
\|\vec v\times X\|^2=\|\vec v\|^2.
Aqui \|\vec v\|^2=2^2+(-1)^2+1^2=6.

Passo 4

Calculemos \vec v\times X. Com \vec v=(2,-1,1) e X=(x,y,z),
\vec v\times X =\bigl((-1)\,z-1\,y\,,\;1\,x-2\,z\,,\;2\,y-(-1)\,x\bigr) =(-y-z,\;x-2z,\;x+2y).
Seu quadrado da norma é
(-y-z)^2+(x-2z)^2+(x+2y)^2 =2x^2+5y^2+5z^2+4xy-4xz+2yz.
Igualando a 6, obtemos a equação do cilindro:
2x^2+5y^2+5z^2+4xy-4xz+2yz=6.

Resposta

A equação do cilindro é
2x^2+5y^2+5z^2+4xy-4xz+2yz=6,
ou, equivalentemente,
x^2+y^2+z^2-\frac{(2x-y+z)^2}{6}=1.

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